자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속함수이므로 제시문 (가)의 최대·최소정리에 의해 최댓값 $\displaystyle M$, 최솟값 $\displaystyle m$을 갖는다. 즉 모든 $\displaystyle x\in[a,b]$에 대하여 $\displaystyle m\le f(x)\le M$이다. 양변에 $\displaystyle g(x)>0$를 곱하여 적분하면 다음과 같다.$\displaystyle m\int_a^bg(x)\,dx\le\int_a^bf(x)g(x)\,dx\le M\int_a^bg(x)\,dx$

한편 $\displaystyle g(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 $\displaystyle g(x)>0$이므로 $\displaystyle \int_a^bg(x)\,dx>0$이다.따라서 $\displaystyle k=\frac{\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\int_a^bg(x)\,dx}$는 $\displaystyle m<k<M$을 만족하는 $\displaystyle f(x)$의 사잇값이고 제시문 (나)의 사이값 정리에 의해 $\displaystyle k=\frac{\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\int_a^bg(x)\,dx}=f(c)$를 만족하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$사이에 존재한다. 즉 $\displaystyle \int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^bg(x)\,dx$를 만족하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$사이에 존재한다.

(1-2)(a)$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\frac x2$이므로 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle \ln f(x)=-\frac{x^2}4+C$ ($\displaystyle C$는 적분상수)이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)=e^Ce^{-\frac{x^2}4}$이다. 조건에서 $\displaystyle f(x)>0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac x2f(x)$이므로 $\displaystyle x<0$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이고 $\displaystyle x>0$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이다. 따라서 $\displaystyle x=0$에서 극대이고 이 때 극댓값 $\displaystyle f(0)=e^C=1$이므로 $\displaystyle f(x)=e^{-\frac{x^2}4}$이다.

(1-2)(b)$\displaystyle g(x)=x^2$이라 놓으면 (1-1)에 의해 $\displaystyle \int_1^2x^2f(x)\,dx=f(c)\int_1^2x^2\,dx$를 만족하는 $\displaystyle c\in(1,2)$가 존재하고 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [1,2]$에서 감소함수이므로$\displaystyle \int_1^2x^2f(x)\,dx=f(c)\int_1^2x^2\,dx=f(c)\left(\frac83-\frac13\right)<f(1)\frac73=e^{-\frac14}\frac73=\frac7{3\sqrt[4]e}$이다.