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자연계열 (오후1) 2번

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인하대 2018학년도 수시 자연계열 (오후1) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_pm1_2

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(가) 0<a<b\displaystyle 0<a<b일 때, 부등식1b<ln⁡b−ln⁡ab−a<1a\displaystyle \frac1b<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac1a은 아래와 같이 직사각형의 넓이와 정적분 사이의 관계를 비교하면 보일 수 있다.1b(b−a)<∫ab1x dx<1a(b−a)\displaystyle \frac1b(b-a)<\int_a^b\frac1x\,dx<\frac1a(b-a)1b(b−a)<ln⁡b−ln⁡a<1a(b−a)\displaystyle \frac1b(b-a)<\ln b-\ln a<\frac1a(b-a)1b<ln⁡b−ln⁡ab−a<1a\displaystyle \frac1b<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac1a

y=1/x의 정적분과 두 직사각형 넓이 비교

(나) (수열의 극한값의 대소 관계) 수렴하는 두 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}에 대하여lim⁡n→∞an=α,lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\quad\lim_{n\to\infty}b_n=\beta일 때,(1) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤bn\displaystyle a_n\le b_n이면 α≤β\displaystyle \alpha\le\beta이다.(2) 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n을 만족시키고 α=β\displaystyle \alpha=\beta이면 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}은 수렴하고 lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha이다.

(다) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, an>0\displaystyle a_n>0에 대하여 lim⁡n→∞an=α>0\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha>0이면 다음이 잘 알려져 있다.lim⁡n→∞{ln⁡an}=ln⁡{lim⁡n→∞an}=ln⁡α\displaystyle \lim_{n\to\infty}\{\ln a_n\}=\ln\left\{\lim_{n\to\infty}a_n\right\}=\ln\alpha

(라) 다음 삼각함수의 극한이 성립한다.lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1

(2-1) 제시문 (가), (나) 그리고 (다)를 모두 이용하여 lim⁡n→∞(1+32n)n\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3{2n}\right)^n의 값을 구하시오. (15점)

(2-2) 아래 그림과 같은 도형이 있다.

OA에 연결된 이등변삼각형과 길이 수열 a_n, 각 θ_n

여기서, OB‾=a1=1\displaystyle \overline{OB}=a_1=1, AB‾=BC‾=a2\displaystyle \overline{AB}=\overline{BC}=a_2, AC‾=CD‾=a3\displaystyle \overline{AC}=\overline{CD}=a_3, …\displaystyle \ldots, ∠ABO=θ1=30∘\displaystyle \angle ABO=\theta_1=30^{\circ}, ∠ACB=θ2\displaystyle \angle ACB=\theta_2, ∠ADC=θ3\displaystyle \angle ADC=\theta_3, …\displaystyle \ldots(a) 위 그림으로부터 sin⁡215∘\displaystyle \sin^215^{\circ}의 값을 구하시오. (5점)(b) 위 그림으로부터 lim⁡n→∞2nan+1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{a_{n+1}}의 값을 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2018학년도 수시 자연계열 (오후1) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_pm1_2

+4점 · a=2n,b=2n+3\displaystyle a=2n,b=2n+3로 택하면 4점

(2-1) a=2n,b=2n+3\displaystyle a=2n,b=2n+3로 택하자.

+4점 · 제시문 (가)에 있는 부등식 1b<ln⁡b−ln⁡ab−a<1a\displaystyle \frac1b<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac1a에 대입하여 다음을 보이면 4점 12n+3<ln⁡(2n+3)−ln⁡(2n)3<12n⇒12n+3<13ln⁡(1+32n)<12n⇒3n2n+3<ln⁡(1+32n)n<32\displaystyle \frac1{2n+3}<\frac{\ln(2n+3)-\ln(2n)}3<\frac1{2n}\Rightarrow\frac1{2n+3}<\frac13\ln\left(1+\frac3{2n}\right)<\frac1{2n}\Rightarrow\frac{3n}{2n+3}<\ln\left(1+\frac3{2n}\right)^n<\frac32

제시문 (가)에 있는 부등식 1b<ln⁡b−ln⁡ab−a<1a\displaystyle \frac1b<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac1a에 대입하면12n+3<ln⁡(2n+3)−ln⁡(2n)3<12n⇒12n+3<13ln⁡(1+32n)<12n⇒3n2n+3<ln⁡(1+32n)n<32\displaystyle \begin{aligned}\frac1{2n+3}<\frac{\ln(2n+3)-\ln(2n)}3<\frac1{2n}\quad&\Rightarrow\quad\frac1{2n+3}<\frac13\ln\left(1+\frac3{2n}\right)<\frac1{2n}\\&\Rightarrow\quad\frac{3n}{2n+3}<\ln\left(1+\frac3{2n}\right)^n<\frac32\end{aligned}

+4점 · 마지막 부등식에 lim⁡n→∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}을 취하면 제시문 (나)와 제시문 (다)에 의하여 다음극한을 구하면 4점 lim⁡n→∞ln⁡(1+32n)n=ln⁡(lim⁡n→∞(1+32n)n)=32\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln\left(1+\frac3{2n}\right)^n=\ln\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3{2n}\right)^n\right)=\frac32

마지막 부등식에 lim⁡n→∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}을 취하면 제시문 (나)와 제시문 (다)에 의하여lim⁡n→∞ln⁡(1+32n)n=ln⁡(lim⁡n→∞(1+32n)n)=32\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln\left(1+\frac3{2n}\right)^n=\ln\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3{2n}\right)^n\right)=\frac32이다.

+3점 · lim⁡n→∞(1+32n)n=e32=ee\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3{2n}\right)^n=e^{\frac32}=e\sqrt e을 구하면 3점

따라서 lim⁡n→∞(1+32n)n=e32=ee\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3{2n}\right)^n=e^{\frac32}=e\sqrt e이다.

+2점 · 그림에서 OA=13\displaystyle OA=\frac1{\sqrt3}, AB=1+OA2=1+13=23=BC=a2\displaystyle AB=\sqrt{1+OA^2}=\sqrt{1+\frac13}=\frac2{\sqrt3}=BC=a_2 2θ2=θ1=30∘\displaystyle 2\theta_2=\theta_1=30^{\circ}이므로 θ2=15∘\displaystyle \theta_2=15^{\circ}이다.

(2-2)(a) 위 그림에서 OA=13\displaystyle OA=\frac1{\sqrt3}, AB=1+OA2=1+13=23=BC=a2\displaystyle AB=\sqrt{1+OA^2}=\sqrt{1+\frac13}=\frac2{\sqrt3}=BC=a_22θ2=θ1=30∘\displaystyle 2\theta_2=\theta_1=30^{\circ}이므로 θ2=15∘\displaystyle \theta_2=15^{\circ}이다.

+3점

따라서sin⁡15∘=OACA, OA2=13, CA2=OA2+(a1+a2)2=13+(1+23)2=83+43=8+433\displaystyle \sin15^{\circ}=\frac{OA}{CA},\ OA^2=\frac13,\ CA^2=OA^2+(a_1+a_2)^2=\frac13+\left(1+\frac2{\sqrt3}\right)^2=\frac83+\frac4{\sqrt3}=\frac{8+4\sqrt3}3sin⁡215∘=OA2CA2=2−34\displaystyle \sin^215^{\circ}=\frac{OA^2}{CA^2}=\frac{2-\sqrt3}4

+2점 · θn=θ12n−1=π3×2n\displaystyle \theta_n=\frac{\theta_1}{2^{n-1}}=\frac\pi{3\times2^n}를 구하면 2점

(2-2)(b) 먼저 θn=θ12n−1=π3×2n\displaystyle \theta_n=\frac{\theta_1}{2^{n-1}}=\frac\pi{3\times2^n},

+2점 · lim⁡n→∞θn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\theta_n=0, lim⁡n→∞sin⁡θnθn=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\theta_n}{\theta_n}=1임을 서술하면 2점

lim⁡n→∞θn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\theta_n=0, lim⁡n→∞sin⁡θnθn=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\theta_n}{\theta_n}=1이다.

+5점 · OA=13\displaystyle OA=\frac1{\sqrt3}, an+1=OAsin⁡θn=13sin⁡θn\displaystyle a_{n+1}=\frac{OA}{\sin\theta_n}=\frac1{\sqrt3\sin\theta_n}를 보이면 5점

또한 OA=13\displaystyle OA=\frac1{\sqrt3}, an+1=OAsin⁡θn=13sin⁡θn\displaystyle a_{n+1}=\frac{OA}{\sin\theta_n}=\frac1{\sqrt3\sin\theta_n}이므로

+6점 · lim⁡n→∞2nan+1=lim⁡n→∞(2n3sin⁡θnθnπ3×2n)=33π=π3\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{a_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\left(2^n\sqrt3\frac{\sin\theta_n}{\theta_n}\frac\pi{3\times2^n}\right)=\frac{\sqrt3}3\pi=\frac\pi{\sqrt3}

lim⁡n→∞2nan+1=lim⁡n→∞2n13sin⁡θn=lim⁡n→∞(2n3sin⁡θnθnθn)=lim⁡n→∞(2n3sin⁡θnθnπ3×2n)=33π=π3\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{a_{n+1}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{\frac1{\sqrt3\sin\theta_n}}=\lim_{n\to\infty}\left(2^n\sqrt3\frac{\sin\theta_n}{\theta_n}\theta_n\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\left(2^n\sqrt3\frac{\sin\theta_n}{\theta_n}\frac\pi{3\times2^n}\right)=\frac{\sqrt3}3\pi=\frac\pi{\sqrt3}\end{aligned}

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