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자연계열 1번

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인하대 2023학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2023su/jayeon_1

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문제

[문제 1] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

이차방정식 ax2+bx+c=0 (a≠0)\displaystyle ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)의 두 근을 α,β\displaystyle \alpha,\beta라 하면α+β=−ba, αβ=ca\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\ \alpha\beta=\frac{c}{a}이다.

(1-1) 실수 α,β (α<β)\displaystyle \alpha,\beta\ (\alpha<\beta)에 대하여 β−α=k\displaystyle \beta-\alpha=k라 할 때, 곡선 y=(x−α)(x−β)\displaystyle y=(x-\alpha)(x-\beta)와 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 k\displaystyle k의 식으로 나타내시오. [10점]

(1-2) 자연수 m\displaystyle m에 대하여 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2과 직선 y=mx+514\displaystyle y=mx+\frac{51}{4}로 둘러싸인 영역의 넓이 S\displaystyle S를 m\displaystyle m의 식으로 나타내시오. [10점]

(1-3) (1-2)에서 구한 S\displaystyle S가 유리수가 되는 자연수 m\displaystyle m을 모두 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

인하대 2023학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2023su/jayeon_1

+3점 · 넓이를 −∫αβ(x−α)(x−β)dx\displaystyle -\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx로 나타내고 답도 구하면 (계산을 완성하지 못한 경우)

Correction. 채점기준에서 “답도 구하면”과 괄호 안의 “계산을 완성하지 못한 경우”를 함께 적은 것은 서로 모순되는 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+7점 · 영역의 넓이를 k36\displaystyle \frac{k^3}{6}로 올바르게 구하면

(1-1) β+α=−a, βα=b\displaystyle \beta+\alpha=-a,\ \beta\alpha=b라 하면 근의 공식으로부터 k=a2−4b\displaystyle k=\sqrt{a^2-4b}이고 β2−α2=(β+α)(β−α)=−ak\displaystyle \beta^2-\alpha^2=(\beta+\alpha)(\beta-\alpha)=-ak이다. β3−α3=(β−α)((β+α)2−βα)=k(a2−b)\displaystyle \beta^3-\alpha^3=(\beta-\alpha)((\beta+\alpha)^2-\beta\alpha)=k(a^2-b)이므로 구하는 넓이는∫αβ(−x2−ax−b)dx=−13(β3−α3)−a2(β2−α2)−b(β−α)=−13k(a2−b)+a2⋅ak−bk=16k(a2−4b)=16k3\displaystyle \begin{aligned}\int_\alpha^\beta(-x^2-ax-b)dx&=-\frac{1}{3}(\beta^3-\alpha^3)-\frac{a}{2}(\beta^2-\alpha^2)-b(\beta-\alpha)\\&=-\frac{1}{3}k(a^2-b)+\frac{a}{2}\cdot ak-bk=\frac{1}{6}k(a^2-4b)=\frac{1}{6}k^3\end{aligned}이다.

+10점 · S=16(m2+51)32\displaystyle S=\frac{1}{6}(m^2+51)^{\frac{3}{2}}를 구하면

(1-2) x2−mx−514=0\displaystyle x^2-mx-\frac{51}{4}=0의 두 근은 x=m±m2+512\displaystyle x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+51}}{2}이므로 β−α=m2+51\displaystyle \beta-\alpha=\sqrt{m^2+51}이다. 따라서 (1-1)에 의해 S=16(m2+51)32\displaystyle S=\frac{1}{6}(m^2+51)^{\frac{3}{2}}이다.

+3점 · m2+51\displaystyle \sqrt{m^2+51}이 정수가 되어야 한다는 사실을 언급하면

(1-3) 자연수 m\displaystyle m에 대해 16(m2+51)32\displaystyle \frac{1}{6}(m^2+51)^{\frac{3}{2}}이 유리수가 되려면 m2+51\displaystyle \sqrt{m^2+51}이 정수가 되어야 한다.m2+51=M\displaystyle \sqrt{m^2+51}=M이라 하면, M2−m2=51\displaystyle M^2-m^2=51을 얻는다. 즉, (M+m)(M−m)=51=3×17\displaystyle (M+m)(M-m)=51=3\times17이다.이때 M+m>M−m\displaystyle M+m>M-m이므로

+2점 · m=7\displaystyle m=7을 구하면 (계산 없어도)

(i) M−m=3\displaystyle M-m=3인 경우: M+m=17\displaystyle M+m=17이 되고 따라서 m=7\displaystyle m=7이다.

+10점 · m=25\displaystyle m=25를 구하면

(ii) M−m=1\displaystyle M-m=1인 경우: M+m=51\displaystyle M+m=51이 되고 따라서 m=25\displaystyle m=25이다.따라서 m=7,25\displaystyle m=7,25이다.

(1-3) 1. 2번 답이 틀린 경우 이 부분 최대 점수는 7점(총점 10점)

(1-3) 2. m=7,25\displaystyle m=7,25를 답만 쓴 경우 최대 5점(총점 8점)

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