자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle \beta+\alpha=-a,\ \beta\alpha=b$라 하면 근의 공식으로부터 $\displaystyle k=\sqrt{a^2-4b}$이고 $\displaystyle \beta^2-\alpha^2=(\beta+\alpha)(\beta-\alpha)=-ak$이다. $\displaystyle \beta^3-\alpha^3=(\beta-\alpha)((\beta+\alpha)^2-\beta\alpha)=k(a^2-b)$이므로 구하는 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\int_\alpha^\beta(-x^2-ax-b)dx&=-\frac{1}{3}(\beta^3-\alpha^3)-\frac{a}{2}(\beta^2-\alpha^2)-b(\beta-\alpha)\\&=-\frac{1}{3}k(a^2-b)+\frac{a}{2}\cdot ak-bk=\frac{1}{6}k(a^2-4b)=\frac{1}{6}k^3\end{aligned}$이다.

(1-2) $\displaystyle x^2-mx-\frac{51}{4}=0$의 두 근은 $\displaystyle x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+51}}{2}$이므로 $\displaystyle \beta-\alpha=\sqrt{m^2+51}$이다. 따라서 (1-1)에 의해 $\displaystyle S=\frac{1}{6}(m^2+51)^{\frac{3}{2}}$이다.

(1-3) 자연수 $\displaystyle m$에 대해 $\displaystyle \frac{1}{6}(m^2+51)^{\frac{3}{2}}$이 유리수가 되려면 $\displaystyle \sqrt{m^2+51}$이 정수가 되어야 한다.$\displaystyle \sqrt{m^2+51}=M$이라 하면, $\displaystyle M^2-m^2=51$을 얻는다. 즉, $\displaystyle (M+m)(M-m)=51=3\times17$이다.이때 $\displaystyle M+m>M-m$이므로(i) $\displaystyle M-m=3$인 경우: $\displaystyle M+m=17$이 되고 따라서 $\displaystyle m=7$이다.(ii) $\displaystyle M-m=1$인 경우: $\displaystyle M+m=51$이 되고 따라서 $\displaystyle m=25$이다.따라서 $\displaystyle m=7,25$이다.