자연계열 (오후) 2번

(2-1) 두 함수의 그래프가 한 교점에서 만나는 경우는 방정식 $\displaystyle x^3-3(x+4)^2-q=0$이 한 실근만을 갖는 경우와 동치이다. 또한 이는 상수함수 $\displaystyle y=q$의 그래프와 함수 $\displaystyle y=x^3-3(x+4)^2$의 그래프가 한 점에서 만나는 경우와 같다. 즉, 실수 $\displaystyle q$의 값은 함수 $\displaystyle y=x^3-3(x+4)^2$의 극댓값보다 크거나 극솟값보다 작아야 한다.$\displaystyle y^{\prime}=3(x^2-2x-8)=3(x-4)(x+2)=0$이므로 함수 $\displaystyle y=x^3-3(x+4)^2$는 $\displaystyle x=-2$에서 극댓값 $\displaystyle -20$, $\displaystyle x=4$에서 극솟값 $\displaystyle -128$을 각각 갖는다. 따라서 구하고자 하는 $\displaystyle q$의 값의 범위는 $\displaystyle q<-128$ 또는 $\displaystyle q>-20$이다.

(2-2) (a) (2-1)에서와 같이 두 그래프가 $\displaystyle x=t$에서 동일한 접선을 갖는 경우, $\displaystyle 3t^2=6(t-p)$을 만족하고 $\displaystyle t>1$이므로 $\displaystyle t=1+\sqrt{1-2p}$이다. 제시문 (가), (나)로부터 세 근의 합은 반드시 $\displaystyle 3$이어야 한다. 중근이 $\displaystyle 1+\sqrt{1-2p}$이므로 나머지 한 근은 $\displaystyle 1-2\sqrt{1-2p}$이다. 따라서 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 1+\sqrt{1-2p},1-2\sqrt{1-2p}$가 된다.

(2-2) (b) 제시문 (나)로부터 $\displaystyle (1+\sqrt{1-2p}^2(1-2\sqrt{1-2p})=q+3p^2$이므로Correction. 첫 번째 인수는 $\displaystyle (1+\sqrt{1-2p})^2$로, 제곱 앞에 닫는 괄호가 하나 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle q=(1+\sqrt{1-2p})^2(1-2\sqrt{1-2p})-3p^2$이다. 또한 두 근의 $\displaystyle p$에 관한 식으로부터 제시문 (다)에 의해$\displaystyle A=\frac{(1+\sqrt{1-2p}-(1-2\sqrt{1-2p}))^4}{12}=\frac{27(1-2p)^2}{4}$을 얻는다.따라서 $\displaystyle \lim_{p\to-\infty}\frac{q}{A}=\lim_{p\to-\infty}\frac{4\{(1+\sqrt{1-2p})^2(1-2\sqrt{1-2p})-3p^2\}}{27(1-2p)^2}=\frac{4\cdot(-3)}{27\cdot4}=-\frac{1}{9}$.