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자연계열 (오후) 2번

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인하대 2023학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2023su/jayeon_pm_2

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[문제 2] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 계수가 실수인 삼차다항식 x3+ax2+bx+c\displaystyle x^3+ax^2+bx+c가 실수 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma에 대해 (x−α)(x−β)(x−γ)\displaystyle (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)로 인수분해 되는 경우, 삼차방정식 x3+ax2+bx+c=0\displaystyle x^3+ax^2+bx+c=0은 세 실근 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma를 갖는다고 한다.(단, α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma의 값이 서로 다를 필요는 없다.)

(나) 계수가 실수인 삼차방정식 x3+ax2+bx+c=0\displaystyle x^3+ax^2+bx+c=0이 세 실근 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma를 가지면, 등식x3+ax2+bx+c=(x−α)(x−β)(x−γ)=x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ\displaystyle \begin{aligned}x^3+ax^2+bx+c&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\&=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\end{aligned}가 성립하므로 근과 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.α+β+γ=−a, αβ+βγ+γα=b, αβγ=−c\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=-a,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b,\ \alpha\beta\gamma=-c

(다) 함수 y=(x−α)2(x−β) (α≠β)\displaystyle y=(x-\alpha)^2(x-\beta)\ (\alpha\neq\beta)의 그래프와 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 (α−β)412\displaystyle \frac{(\alpha-\beta)^4}{12}이다.

(2-1) 곡선 y=3(x+4)2+q\displaystyle y=3(x+4)^2+q와 곡선 y=x3\displaystyle y=x^3이 한 점에서만 만나도록 하는 실수 q\displaystyle q의 값의 범위를 구하시오. [10점]

(2-2) 실수 p,q\displaystyle p,q에 대하여 곡선 y=3(x−p)2+q\displaystyle y=3(x-p)^2+q와 곡선 y=x3\displaystyle y=x^3이 x\displaystyle x좌표가 1\displaystyle 1보다 큰 점에서 만나고, 그 교점에서 공통의 접선을 갖는다.(a) 두 곡선의 모든 교점의 x\displaystyle x좌표를 p\displaystyle p의 식으로 나타내시오. [10점](b) 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 A\displaystyle A라 할 때, lim⁡p→−∞qA\displaystyle \lim_{p\to-\infty}\frac{q}{A}의 값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

인하대 2023학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2023su/jayeon_pm_2

+7점 · x3−3(x+4)2\displaystyle x^3-3(x+4)^2이 x=−2\displaystyle x=-2에서 극댓값 −20\displaystyle -20, x=4\displaystyle x=4에서 극솟값 −128\displaystyle -128을 가지는 것을 확인하면

(2-1) 두 함수의 그래프가 한 교점에서 만나는 경우는 방정식 x3−3(x+4)2−q=0\displaystyle x^3-3(x+4)^2-q=0이 한 실근만을 갖는 경우와 동치이다. 또한 이는 상수함수 y=q\displaystyle y=q의 그래프와 함수 y=x3−3(x+4)2\displaystyle y=x^3-3(x+4)^2의 그래프가 한 점에서 만나는 경우와 같다. 즉, 실수 q\displaystyle q의 값은 함수 y=x3−3(x+4)2\displaystyle y=x^3-3(x+4)^2의 극댓값보다 크거나 극솟값보다 작아야 한다.y′=3(x2−2x−8)=3(x−4)(x+2)=0\displaystyle y^{\prime}=3(x^2-2x-8)=3(x-4)(x+2)=0이므로 함수 y=x3−3(x+4)2\displaystyle y=x^3-3(x+4)^2는 x=−2\displaystyle x=-2에서 극댓값 −20\displaystyle -20, x=4\displaystyle x=4에서 극솟값 −128\displaystyle -128을 각각 갖는다.

+3점 · q\displaystyle q의 범위 q>−20, q<−128\displaystyle q>-20,\ q<-128을 구하면

따라서 구하고자 하는 q\displaystyle q의 값의 범위는 q<−128\displaystyle q<-128 또는 q>−20\displaystyle q>-20이다.

+5점 · 1\displaystyle 1보다 큰 근 1+1−2p\displaystyle 1+\sqrt{1-2p}를 구하면

(2-2) (a) (2-1)에서와 같이 두 그래프가 x=t\displaystyle x=t에서 동일한 접선을 갖는 경우, 3t2=6(t−p)\displaystyle 3t^2=6(t-p)을 만족하고 t>1\displaystyle t>1이므로 t=1+1−2p\displaystyle t=1+\sqrt{1-2p}이다.

+5점 · 나머지 근 1−21−2p\displaystyle 1-2\sqrt{1-2p}를 구하면

제시문 (가), (나)로부터 세 근의 합은 반드시 3\displaystyle 3이어야 한다. 중근이 1+1−2p\displaystyle 1+\sqrt{1-2p}이므로 나머지 한 근은 1−21−2p\displaystyle 1-2\sqrt{1-2p}이다. 따라서 교점의 x\displaystyle x좌표는 1+1−2p,1−21−2p\displaystyle 1+\sqrt{1-2p},1-2\sqrt{1-2p}가 된다.

+5점 · q=−3p2+(1+1−2p)2(1−21−2p)\displaystyle q=-3p^2+(1+\sqrt{1-2p})^2(1-2\sqrt{1-2p})를 구하면

(2-2) (b) 제시문 (나)로부터 (1+1−2p2(1−21−2p)=q+3p2\displaystyle (1+\sqrt{1-2p}^2(1-2\sqrt{1-2p})=q+3p^2이므로Correction. 첫 번째 인수는 (1+1−2p)2\displaystyle (1+\sqrt{1-2p})^2로, 제곱 앞에 닫는 괄호가 하나 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.q=(1+1−2p)2(1−21−2p)−3p2\displaystyle q=(1+\sqrt{1-2p})^2(1-2\sqrt{1-2p})-3p^2이다.

+5점 · A=274(1−2p)2\displaystyle A=\frac{27}{4}(1-2p)^2을 구하면

또한 두 근의 p\displaystyle p에 관한 식으로부터 제시문 (다)에 의해A=(1+1−2p−(1−21−2p))412=27(1−2p)24\displaystyle A=\frac{(1+\sqrt{1-2p}-(1-2\sqrt{1-2p}))^4}{12}=\frac{27(1-2p)^2}{4}을 얻는다.

+5점 · 극한값이 −19\displaystyle -\frac{1}{9}임을 구하면

따라서 lim⁡p→−∞qA=lim⁡p→−∞4{(1+1−2p)2(1−21−2p)−3p2}27(1−2p)2=4⋅(−3)27⋅4=−19\displaystyle \lim_{p\to-\infty}\frac{q}{A}=\lim_{p\to-\infty}\frac{4\{(1+\sqrt{1-2p})^2(1-2\sqrt{1-2p})-3p^2\}}{27(1-2p)^2}=\frac{4\cdot(-3)}{27\cdot4}=-\frac{1}{9}.

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