[평균값 정리] 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때, b−af(b)−f(a)=f′(c)인 c가 열린구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다.
(※) 함수f(x)={−x2+4x4x2(x≥0)(x<0)에 대하여 다음 질문에 답하시오.
(3-1)다음 조건을 만족하는 실수 a의 값의 범위를 구하시오. [10점]
s<a<t인 모든 실수 s,t에 대하여 f(s)>f(a)>f(t)이다.
(3-2)실수 전체의 집합에서 정의된 함수 g(x)가 모든 실수 t에 대하여 g(t)=x→t+limf′(x)를 만족한다. 다음 조건을 만족하는 실수 k의 값의 범위를 구하시오. [10점]
함수 ∣g(x)−k∣는 닫힌구간 [−1,1]에서 최솟값을 갖지 않는다.
(3-3)다음 조건을 만족하는 두 정수 a,b(a<b)의 순서쌍 (a,b)를 모두 구하시오. [15점]
b−af(b)−f(a)=x→c+limf′(x)이고 a<c<b인 실수 c가 존재하지 않는다.
해설강의 준비중
인하대 2023학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2023su/jayeon_3
(3-1) 함수 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다.
+5점 · f(x)의 그래프의 개형을 파악하면
조건을 만족시키려면 f(x)는 a를 포함한 구간에서 감소해야 하므로 a<0 또는 a>2이어야 한다.
+5점 · a<−4 또는 a>4임을 정확히 구하면
그런데 −4≤a<0이면 f(a)≤f(2)이고, 2<a≤4이면 f(0)≤f(a)이므로 조건을 만족하지 않는다.한편 a<−4 또는 a>4이면 문제의 조건을 만족하므로 구하려는 범위는 a<−4 또는 a>4이다.
(3-2) 함수 y=g(x)의 그래프는 다음과 같다.
+3점 · g(x)의 그래프의 개형을 파악하면
+3점 · k의 범위에 따라 ∣g(x)−k∣의 특징을 파악하면
문제의 조건을 만족하려면 구간 [−1,1]에서 함수 g(x)의 그래프 위의 점 또는 점 (0,0) 중에서 직선 y=k에 가장 가까운 점이 (0,0) 하나여야 한다.
+4점 · 0≤k<1임을 구하면
따라서 구하려는 범위는 0≤k<1이다. 예를 들어 k=21이면 ∣g(x)−k∣의 그래프는 다음과 같은 모양이다.
k가 이 범위 안에 있지 않다면 구간 [−1,1]에서 g(x)의 최솟값은 k<−21이면 −21−k이고, −21<k<0이면 0, 1≤k≤2이면 2−k, 2<k≤4이면 0, k>4이면 k−4이다.Correction. 여기서 g(x)는 ∣g(x)−k∣의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution.범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: k=−21일 때에도 ∣g(x)−k∣의 최솟값은 0이다. 따라서 최솟값을 나누어 제시할 때 이 경계값을 빠뜨려서는 안 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.
+5점 · 평균값의 정리를 이용하여 a<0,b>0이어야 한다는 사실을 파악하면
(3-3) a<b≤0 또는 0≤a<b이면 평균값의 정리에 의하여 문제의 조건은 성립하지 않는다. 따라서 문제의 조건을 만족하려면 a<0,b>0이어야 한다.
+5점 · 직선의 기울기의 성질과 g(x)의 그래프를 이용하여 b=1,2임을 파악하면
a<0,b>2이면 기울기 b−af(b)−f(a)는 두 실수 b−0f(b)−f(0)=bf(b)와 0−af(0)−f(a)=af(a) 사이의 값이다. (또는 두 값이 같은 경우 두 값과 같다.) 평균값 정리에 의하여 두 실수는 각각 g(c1),g(c2)인 a<c1<0, 0<c2<b와 같은데, (3-2)의 함수 y=g(x)의 그래프로부터 이 두 실수 g(c1), g(c2) 사이에 있는 어떠한 값도 어떤 g(c)(a<c<b)의 값과 같다.따라서 (3-2)의 함수 y=g(x)의 그래프로부터 문제의 조건을 만족하려면 0<b≤2, a<0이고 0≤b−af(b)−f(a)≤−2b+4이어야 한다.
+5점 · (−4,2),(−3,1),(−2,1),(−1,1)을 구하면
b=1인 경우 a=−1,−2,−3가 가능하고, b=2인 경우 a=−4이다.따라서 구하려는 순서쌍은 (−4,2),(−3,1),(−2,1),(−1,1)이다.
수리논술, 이게 다다.
