자연계열 3번

조건을 만족시키려면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle a$를 포함한 구간에서 감소해야 하므로 $\displaystyle a<0$ 또는 $\displaystyle a>2$이어야 한다.그런데 $\displaystyle -4\le a<0$이면 $\displaystyle f(a)\le f(2)$이고, $\displaystyle 2<a\le4$이면 $\displaystyle f(0)\le f(a)$이므로 조건을 만족하지 않는다.한편 $\displaystyle a<-4$ 또는 $\displaystyle a>4$이면 문제의 조건을 만족하므로 구하려는 범위는 $\displaystyle a<-4$ 또는 $\displaystyle a>4$이다.

문제의 조건을 만족하려면 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프 위의 점 또는 점 $\displaystyle (0,0)$ 중에서 직선 $\displaystyle y=k$에 가장 가까운 점이 $\displaystyle (0,0)$ 하나여야 한다. 따라서 구하려는 범위는 $\displaystyle 0\le k<1$이다. 예를 들어 $\displaystyle k=\frac{1}{2}$이면 $\displaystyle |g(x)-k|$의 그래프는 다음과 같은 모양이다.

(3-3) $\displaystyle a<b\le0$ 또는 $\displaystyle 0\le a<b$이면 평균값의 정리에 의하여 문제의 조건은 성립하지 않는다. 따라서 문제의 조건을 만족하려면 $\displaystyle a<0,b>0$이어야 한다.$\displaystyle a<0,b>2$이면 기울기 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$는 두 실수 $\displaystyle \frac{f(b)-f(0)}{b-0}=\frac{f(b)}{b}$와 $\displaystyle \frac{f(0)-f(a)}{0-a}=\frac{f(a)}{a}$ 사이의 값이다. (또는 두 값이 같은 경우 두 값과 같다.) 평균값 정리에 의하여 두 실수는 각각 $\displaystyle g(c_1),g(c_2)$인 $\displaystyle a<c_1<0$, $\displaystyle 0<c_2<b$와 같은데, (3-2)의 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프로부터 이 두 실수 $\displaystyle g(c_1)$, $\displaystyle g(c_2)$ 사이에 있는 어떠한 값도 어떤 $\displaystyle g(c)\ (a<c<b)$의 값과 같다.따라서 (3-2)의 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프로부터 문제의 조건을 만족하려면 $\displaystyle 0<b\le2$, $\displaystyle a<0$이고 $\displaystyle 0\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le-2b+4$이어야 한다. $\displaystyle b=1$인 경우 $\displaystyle a=-1,-2,-3$가 가능하고, $\displaystyle b=2$인 경우 $\displaystyle a=-4$이다.따라서 구하려는 순서쌍은 $\displaystyle (-4,2),(-3,1),(-2,1),(-1,1)$이다.