의예과 2번

(2-2) (a) $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$가 최대가 되는 $\displaystyle a,b,c$의 값을 각각 $\displaystyle a_1,b_1,c_1$이라고 하자. 그러면 $\displaystyle a_1,b_1,c_1$은 모두 정수이다.왜냐하면 $\displaystyle a_1$이 정수가 아니라면 $\displaystyle f(a_1)>0$ 또는 $\displaystyle f(a_1)<0$인데, $\displaystyle f(a_1)>0$이라면 $\displaystyle a$의 값이 $\displaystyle a_1$보다 약간 작아지면 $\displaystyle \int_a^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$의 값은 더 커지고, $\displaystyle f(a_1)<0$이라면 $\displaystyle a$의 값이 $\displaystyle a_1$보다 약간 커지면 $\displaystyle \int_a^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$의 값이 더 커지기 때문이다. 마찬가지 이유로 $\displaystyle b_1,c_1$도 정수이다.이때 $\displaystyle a_1$은 짝수이다. 왜냐하면 $\displaystyle a_1$이 홀수라면 구간 $\displaystyle (a_1-1,a_1)$에서 $\displaystyle f(x)>0$이므로 $\displaystyle \int_{a_1-1}^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$의 값이 $\displaystyle \int_{a_1}^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$보다 크기 때문이다. 마찬가지로 $\displaystyle b_1$은 홀수이고 $\displaystyle c_1$은 짝수이다.$\displaystyle b_1$이 홀수이고 $\displaystyle a_1,c_1$이 짝수일 때 $\displaystyle \int_{a_1}^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$이 최대이려면 $\displaystyle b_1-a_1=1$이어야 한다. 왜냐하면 고정된 홀수 $\displaystyle b_1$에 대하여 $\displaystyle \int_a^{b_1}f(x)dx$는 $\displaystyle a\ (a<b_1)$가 짝수 중에서 $\displaystyle a=b_1-1$일 때 최대이기 때문이다.이 중에서 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$는 $\displaystyle a,b,c$가 각각 $\displaystyle 4,5,6$일 때 최대이고 $\displaystyle M=20$이다.마찬가지로 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$의 최솟값은 $\displaystyle b$가 짝수이고 $\displaystyle b-a=1$일 때 얻어진다. 실제로 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$는 $\displaystyle a,b,c$가 각각 $\displaystyle 3,4,5$일 때 최소이고 $\displaystyle m=-16$이다.