의예과 2번

(2-1) 부분적분을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_n^{n+1}f(x)dx&=\Biggl[-x\cos\pi x\Biggr]_n^{n+1}+\int_n^{n+1}\cos\pi x\,dx\\&=n\cos n\pi-(n+1)\cos(n+1)\pi=(-1)^nn-(-1)^{n+1}(n+1)\\&=(-1)^n(2n+1)\end{aligned}$이다.

(2-2) (a) $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$가 최대가 되는 $\displaystyle a,b,c$의 값을 각각 $\displaystyle a_1,b_1,c_1$이라고 하자. 그러면 $\displaystyle a_1,b_1,c_1$은 모두 정수이다.왜냐하면 $\displaystyle a_1$이 정수가 아니라면 $\displaystyle f(a_1)>0$ 또는 $\displaystyle f(a_1)<0$인데, $\displaystyle f(a_1)>0$이라면 $\displaystyle a$의 값이 $\displaystyle a_1$보다 약간 작아지면 $\displaystyle \int_a^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$의 값은 더 커지고, $\displaystyle f(a_1)<0$이라면 $\displaystyle a$의 값이 $\displaystyle a_1$보다 약간 커지면 $\displaystyle \int_a^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$의 값이 더 커지기 때문이다. 마찬가지 이유로 $\displaystyle b_1,c_1$도 정수이다.이때 $\displaystyle a_1$은 짝수이다. 왜냐하면 $\displaystyle a_1$이 홀수라면 구간 $\displaystyle (a_1-1,a_1)$에서 $\displaystyle f(x)>0$이므로 $\displaystyle \int_{a_1-1}^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$의 값이 $\displaystyle \int_{a_1}^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$보다 크기 때문이다. 마찬가지로 $\displaystyle b_1$은 홀수이고 $\displaystyle c_1$은 짝수이다.$\displaystyle b_1$이 홀수이고 $\displaystyle a_1,c_1$이 짝수일 때 $\displaystyle \int_{a_1}^{b_1}f(x)dx-\int_{b_1}^{c_1}f(x)dx$이 최대이려면 $\displaystyle b_1-a_1=1$이어야 한다. 왜냐하면 고정된 홀수 $\displaystyle b_1$에 대하여 $\displaystyle \int_a^{b_1}f(x)dx$는 $\displaystyle a\ (a<b_1)$가 짝수 중에서 $\displaystyle a=b_1-1$일 때 최대이기 때문이다.이 중에서 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$는 $\displaystyle a,b,c$가 각각 $\displaystyle 4,5,6$일 때 최대이고 $\displaystyle M=20$이다.마찬가지로 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$의 최솟값은 $\displaystyle b$가 짝수이고 $\displaystyle b-a=1$일 때 얻어진다. 실제로 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$는 $\displaystyle a,b,c$가 각각 $\displaystyle 3,4,5$일 때 최소이고 $\displaystyle m=-16$이다.

(b) 함수 $\displaystyle h(x)$를 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle h(x)=\int_{3+x}^{4+x}f(t)dt-\int_{4+x}^{5+x}f(t)dt$라고 정의하면,$\displaystyle h(x)=2\int_3^{4+x}f(t)dt-\int_3^{5+x}f(t)dx-\int_3^{3+x}f(t)dt$이므로Correction. 피적분함수가 $\displaystyle f(t)$이므로 $\displaystyle dx$는 $\displaystyle dt$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.적분과 미분의 관계로부터 $\displaystyle h(x)$는 미분가능하므로 연속이고 $\displaystyle h(0)=m$, $\displaystyle h(1)=M$이므로, 제시문(나) 사잇값의 정리에 의하여 $\displaystyle m<k<M$인 임의의 실수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle h(t)=k$인 $\displaystyle t$가 구간 $\displaystyle (0,1)$에 존재한다. 모든 $\displaystyle 0<t<1$에 대하여 $\displaystyle h(t)$는 항상 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx$ (단, $\displaystyle 0<a<b<c<6$)의 꼴이므로, 문제와 같이 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx-\int_b^c f(x)dx=k$를 만족하는 실수 $\displaystyle a,b,c$가 존재한다.