자연계열 (오후) 3번

점 $\displaystyle (0,0)$을 지나고 곡선 $\displaystyle y=x\sin x$에 접하는 직선을 구해보자. 곡선 $\displaystyle y=x\sin x$의 $\displaystyle x=t$에서의 접선은 $\displaystyle y-t\sin t=(\sin t+t\cos t)(x-t)$이고, $\displaystyle (0,0)$을 지나므로 $\displaystyle t^2\cos t=0$이고 $\displaystyle t=0,\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\cdots$이다.따라서 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle g(t)=4$인 $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}<t<\pi$이다.

(3-2) 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C$이므로$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x-x\sin x\right)dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^\pi\left\{x\sin x+\frac{\sqrt{2}}{6}(x-\pi)\right\}dx\\&=\Biggl[\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+x\cos x-\sin x\Biggr]_0^{\frac{\pi}{4}}+\Biggl[-x\cos x+\sin x+\frac{\sqrt{2}}{12}(x-\pi)^2\Biggr]_{\frac{\pi}{4}}^\pi\\&=-\frac{\sqrt{2}}{32}\pi^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{4}+1\right)\pi-\sqrt{2}\end{aligned}$이다.

(3-3) $\displaystyle t=t_1>\frac{\pi}{2}$이면 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 곡선 $\displaystyle y=x\sin x$와 $\displaystyle x=t_2\left(0<t_2<\frac{\pi}{2}\right)$일 때 만난다. 그래프에 의해 $\displaystyle t=t_2$일 때의 $\displaystyle S$는 $\displaystyle t=t_1$일 때의 $\displaystyle S$보다 크다. 그러므로 $\displaystyle S$는 $\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{2}$일 때 최댓값을 갖는다.

$\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{2}$이면 $\displaystyle S$는$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^t\{(\sin t)x-x\sin x\}dx+\int_t^\pi\left\{x\sin x-\frac{t\sin t}{t-\pi}(x-\pi)\right\}dx\\&=t^2\sin t+2t\cos t-\frac{\pi t}{2}\sin t-2\sin t+\pi\end{aligned}$이므로, $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$일 때 $\displaystyle \frac{dS}{dt}=t\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\cos t-\frac{\pi}{2}\sin t<0$이다.따라서 $\displaystyle S$는 $\displaystyle t=0$일 때 최댓값 $\displaystyle \pi$를 갖는다.