자연계열 (오후) 1번

(1-1) 직선 $\displaystyle PQ$의 기울기는 $\displaystyle -e^{-t}$이고, $\displaystyle (t,e^{-t})$를 지나므로 직선 $\displaystyle PQ$의 방정식은 $\displaystyle y=-e^{-t}(x-t)+e^{-t}$이 되고, $\displaystyle Q$의 좌표는 $\displaystyle (t+1,0)$이 된다.

따라서 삼각형 $\displaystyle OPQ$의 넓이 $\displaystyle A(t)$는 $\displaystyle A(t)=\frac{(t+1)e^{-t}}{2}$이 된다.

(1-2) 함수 $\displaystyle g(t)=(2t-1)A(t)=\frac{1}{2}(2t-1)(t+1)e^{-t}=\frac{1}{2}(2t^2+t-1)e^{-t}$이라 하면 $\displaystyle g^{\prime}(t)=\frac{1}{2}(2-t)(1+2t)e^{-t}$이므로 $\displaystyle 1\le t<2$에서 $\displaystyle g^{\prime}(t)>0$이고 $\displaystyle 2<t$에서 $\displaystyle g^{\prime}(t)<0$이므로 $\displaystyle t=2$에서 최댓값을 갖는다.

따라서 $\displaystyle g(2)=\frac{9}{2e^2}$가 최댓값이 된다.

(1-3) 선분 $\displaystyle OP$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{t^2+(e^{-t})^2}$, 선분 $\displaystyle PQ$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{1+(e^{-t})^2}$, 선분 $\displaystyle OQ$의 길이는 $\displaystyle t+1$이다.삼각형 $\displaystyle OPQ$의 넓이는 $\displaystyle \frac{(t+1)e^{-t}}{2}$이고 내접원의 반지름을 이용하여 삼각형 $\displaystyle OPQ$의 넓이를 표현하면 $\displaystyle \frac{1}{2}r(\overline{OP}+\overline{PQ}+\overline{QO})=\frac{(t+1)e^{-t}}{2}$이므로 $\displaystyle r=\frac{(t+1)e^{-t}}{\left(\sqrt{t^2+(e^{-t})^2}+\sqrt{1+(e^{-t})^2}+t+1\right)}$이다.

직선 $\displaystyle PR$은 직선 $\displaystyle PQ$에 수직이므로 제시문에 의하여 직선 $\displaystyle PR$의 기울기는 $\displaystyle e^t$이고 점 $\displaystyle P(t,e^{-t})$을 지나므로 직선 $\displaystyle PR$의 방정식은 $\displaystyle y=e^t(x-t)+e^{-t}$이다. 점 $\displaystyle R$의 좌표는 $\displaystyle (t-e^{-2t},0)$이다. 그러므로 선분 $\displaystyle RQ$의 길이는 $\displaystyle 1+e^{-2t}$이므로 삼각형 $\displaystyle PQR$의 넓이는 $\displaystyle S=\frac{(1+e^{-2t})e^{-t}}{2}$이다.

따라서 구하고자 하는 극한은$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{r}{S}=\lim_{t\to\infty}\frac{2(t+1)}{\left(\sqrt{t^2+(e^{-t})^2}+\sqrt{1+(e^{-t})^2}+t+1\right)(1+e^{-2t})}=1$이다.