자연계열 2번

(2-1) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선은$\displaystyle y-(t-2)^2e^t=t(t-2)e^t(x-t)$이다. 이 직선이 $\displaystyle (2,0)$을 지나므로 $\displaystyle t=1$이거나 $\displaystyle t=2$이다.따라서 구하고자 하는 직선은$\displaystyle y=0,\qquad y=-ex+2e$이다.

(2-2) $\displaystyle f^{\prime}(x)=x(x-2)e^x$이므로 $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b=2$이다. 제시문 (가)의 부분적분법을 이용하면 $\displaystyle \int xe^xdx=(x-1)e^x+C$이므로 제시문 (나)에 의해$\displaystyle \int(x-2)^2e^xdx=(x^2-6x+10)e^x+C$이다. 그러므로$\displaystyle S=\int_0^2[6-3x-(x-2)^2e^x]dx=\Biggl[6x-\frac{3}{2}x^2-(x^2-6x+10)e^x\Biggr]_0^2=16-2e^2$이다.

한편 $\displaystyle g(x)=f(t)+f^{\prime}(t)(x-t)$일 때의 $\displaystyle S$를 $\displaystyle h(t)$로 두면$\displaystyle h(t)=\int_{-1}^2[f(t)+f^{\prime}(t)(x-t)-f(x)]dx=3f(t)+\left(-3t+\frac{3}{2}\right)f^{\prime}(t)-\int_{-1}^2 f(x)dx$이고$\displaystyle \frac{dh}{dt}=\left(-3t+\frac{3}{2}\right)f^{\prime\prime}(t)=-3\left(t-\frac{1}{2}\right)(t^2-2)e^t$이다. 따라서 $\displaystyle S$는 $\displaystyle t=\frac{1}{2}$일 때 최솟값$\displaystyle 3f\left(\frac{1}{2}\right)-\int_{-1}^2 f(x)dx=\frac{27}{4}\sqrt{e}-\Biggl[(x^2-6x+10)e^x\Biggr]_{-1}^2=\frac{27}{4}\sqrt{e}-2e^2+\frac{17}{e}$을 갖는다.