자연계열 1번

(1-1) 부등식이 성립하려면 직선 $\displaystyle y=3x+b$가 곡선 $\displaystyle y=e^x$보다 아래에 위치해야 한다. 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle y=e^x$이 아래로 볼록이므로 $\displaystyle b$가 최대인 경우는 직선이 접하는 경우이다. 기울기가 $\displaystyle 3$인 접점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \ln3$이다. 따라서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=3x+3(1-\ln3)$이고 $\displaystyle b=3(1-\ln3)$이다.

(1-2) $\displaystyle f(x)=ax+b$라 하면 $\displaystyle f(2)=2a+b$이므로 $\displaystyle x=2$에서의 함숫값이 최대인 직선일 때이다. (1-1)과 마찬가지로 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle y=e^x$이 아래로 볼록이므로 $\displaystyle x=2$에서의 접선일 때 $\displaystyle 2a+b$가 최대이다. 따라서 기울기는 $\displaystyle e^2$이고 $\displaystyle f(x)=e^2(x-2)+e^2$이므로 $\displaystyle b=-e^2$이다.

(1-3) (1-2)와 마찬가지로 $\displaystyle f(x)=ax+b$라 하면 $\displaystyle f(2)=2a+b$이므로 $\displaystyle x=2$에서의 함숫값이 최대인 직선일 때이다. 부등식을 만족하기 위해서는 직선 $\displaystyle y=ax+b$가 두 곡선 $\displaystyle y=e^x$, $\displaystyle y=e^{x-3}+6$보다 아래에 위치해야 한다. 제시문 (나)에 의해 그래프의 개형으로부터 두 곡선에 동시에 접할 때 $\displaystyle 2a+b$의 값이 최대가 된다. $\displaystyle y=e^x$에서의 접점을 $\displaystyle (p,e^p)$, $\displaystyle y=e^{x-3}+6$에서의 접점을 $\displaystyle (q,e^{q-3}+6)$이라 하면 $\displaystyle e^x$의 도함수가 $\displaystyle e^x$이므로 두 점을 잇는 직선의 기울기가 각 점에서의 미분계수와 같으므로$\displaystyle e^p=e^{q-3}=\frac{e^p-(e^{q-3}+6)}{p-q}$를 얻는다. $\displaystyle p=q-3$이므로 $\displaystyle e^p=2$가 되어 $\displaystyle p=\ln2$이다. 즉 $\displaystyle y=2(x-\ln2)+2$일 때 $\displaystyle 2a+b$가 최대이며 $\displaystyle 2a+b=2(2-\ln2)+2=6-2\ln2$이다.