의예과 2번

함수 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}(x-1)(x-4)&(x\le4)\\-2(x-4)&(x\ge4)\end{cases}$라 하면 문제에서 함수 $\displaystyle g(t)$의 성질(i)은 다음과 같다.

$\displaystyle g(t)=\int_0^\beta(h(x)-tx)dx$이고 이때 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle h(\beta)=t\beta$인 어떤 양의 실수이다.

$\displaystyle t>0$일 때 $\displaystyle h(x)=tx$의 해는 유일하게 존재한다. 이 해를 $\displaystyle \beta$라 하면, $\displaystyle g(t)=\int_0^\beta f(x)dx$이다. 또한, $\displaystyle x\in(0,\beta)$에 대하여 $\displaystyle h(x)>tx$이므로 $\displaystyle g(t)>0$이다. 한편, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}g(t)=0$이다.$\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle h(x)=tx=0$의 해는 $\displaystyle 1,4$이므로 $\displaystyle g(0)$의 값은 $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=\frac{11}{6}$ 또는 $\displaystyle \int_0^4 f(x)dx=-\frac{8}{3}$이다.$\displaystyle -1<t<0$일 때는 $\displaystyle f(x)=0$은 세 개의 실근을 갖는다. 세 개의 실근을 $\displaystyle \alpha_1<\alpha_2<\alpha_3$라 하면$\displaystyle \int_0^{\alpha_1}f(x)dx>0$, $\displaystyle \int_0^{\alpha_3}f(x)dx>\int_0^{\alpha_2}f(x)dx>-\frac{8}{3}$이다. 따라서 $\displaystyle g(t)>-\frac{8}{3}$이다.$\displaystyle t=-1$일 때 직선 $\displaystyle y=tx$는 곡선 $\displaystyle y=h(x)$에 접하며 접점은 $\displaystyle (2,-2)$이다. 또한 $\displaystyle (2,-2)$이외의 다른 교점도 있다. 어떤 경우이든 $\displaystyle g(-1)>0$이다.$\displaystyle -2<t<-1$이면 $\displaystyle h(x)=tx$는 하나의 실근 $\displaystyle \beta(>4)$를 갖고 $\displaystyle g(t)>0$이다.

(2-3) 서로 다른 $\displaystyle t_1,t_2\ (t_1<t_2)$에 대하여 $\displaystyle t=t_1,t_2$일 때 $\displaystyle g(t)$가 최솟값 $\displaystyle m$을 갖는다고 하자. $\displaystyle \lim_{t\to\infty}g(t)=0$이고 $\displaystyle g(0)=\int_0^1 f(x)dx=\frac{11}{6}$이므로 함수 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle \frac{11}{6}$ 이하의 모든 양수를 함숫값으로 갖는다. 따라서 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 0$ 이하이다. 또한 $\displaystyle -2<t<-1$와 $\displaystyle t>0$에 대하여 $\displaystyle g(t)$는 항상 양수이므로 $\displaystyle -1<t_1<t_2<0$임을 알 수 있다. 불연속점을 제외한 각 구간에서 $\displaystyle g(t)$는 감소한다. 따라서 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=t_1,t_2$에서 불연속이다.