자연계열 (오후) 2번

(2-1) 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle (t,t^2)$과 점 $\displaystyle (-5,-1)$ 사이의 거리의 제곱 함수는$\displaystyle f(t)=(t+5)^2+(t^2+1)^2=t^4+3t^2+10t+26$

(2-2) 점 $\displaystyle P$와 가장 가까운 점 $\displaystyle Q$의 좌표를 $\displaystyle (a,a^2)$이라 하면, 점 $\displaystyle Q$에서의 접선과 직선 $\displaystyle PQ$는 서로 수직이다.

따라서 직선 $\displaystyle PQ$의 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2$이다. 따라서 점 $\displaystyle P$의 좌표 $\displaystyle (x,y)$는 $\displaystyle 2a^3-(2y-1)a-x=0$을 만족하고,

제시문 (나)의 음함수 미분법에 의하여$\displaystyle 6a^2a^{\prime}-(2y-1)a^{\prime}-2y^{\prime}a-x^{\prime}=0$이다. 한편 $\displaystyle x^{\prime}=2$, $\displaystyle y^{\prime}=-1-\pi\sin(\pi s)$이고, $\displaystyle s=-4$일 때 $\displaystyle x^{\prime}=2$, $\displaystyle y^{\prime}=-1$이다. 또한 $\displaystyle s=-4$일 때, $\displaystyle x=-5$, $\displaystyle y=-1$이므로 (2-1)에 의해 $\displaystyle a=-1$이다. 따라서 $\displaystyle s=-4$일 때, $\displaystyle 6a^{\prime}-(-3)a^{\prime}-4=0$이고 $\displaystyle a^{\prime}=\frac{4}{9}$이다.

한편, $\displaystyle \{d(s)\}^2=\overline{PQ}^{\,2}=(a-x)^2+(a^2-y)^2$이므로,$\displaystyle 2d(s)\cdot d^{\prime}(s)=\frac{d}{ds}(d(s)^2)=2(a-x)\cdot(a^{\prime}-x^{\prime})+2(a^2-y)\cdot(2a\cdot a^{\prime}-y^{\prime})$이고$\displaystyle 2d(-4)\cdot d^{\prime}(-4)=2(-1+5)\cdot\left(\frac{4}{9}-2\right)+2(1-(-1))\cdot\left(\left(-2\cdot\frac{4}{9}\right)+1\right)=-\frac{112}{9}+\frac{4}{9}=-12$이다. 그리고 $\displaystyle d(-4)=2\sqrt{5}$이므로 $\displaystyle d^{\prime}(-4)=-\frac{12}{4\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}$이다.

(2-3) 최소가 되는 점 $\displaystyle P,Q,R$이 있다고 하자. 원 $\displaystyle (x-3)^2+y^2=1$의 중심을 $\displaystyle S$라 하자. 직선 $\displaystyle PR$은 점 $\displaystyle R$에서 원 $\displaystyle (x-3)^2+y^2=1$의 접선과 수직이므로, 점 $\displaystyle S$를 지나야 한다. 따라서 직선 $\displaystyle PR$은 점 $\displaystyle P$와 $\displaystyle S$를 잇는 직선이고, 선분 $\displaystyle PR$의 길이는 $\displaystyle \overline{PS}-1$이다.Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: 중심이 $\displaystyle S$이고 반지름이 $\displaystyle 1$인 원 위에서 $\displaystyle P$에 가장 가까운 점을 $\displaystyle R$이라 하면 $\displaystyle PR=|PS-1|$이다. $\displaystyle P$가 원 안에 있으면 $\displaystyle PR=1-PS$이므로, 원문의 $\displaystyle PR=PS-1$을 그대로 적용할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. 최솟값 $\displaystyle \sqrt5-1$은 맞지만, $\displaystyle P$를 $\displaystyle T$로 옮기면 원 위의 최근접점도 다시 정해야 한다. 모든 경우에 삼각부등식으로 $\displaystyle PQ+PR\ge QR\ge QS-1\ge\sqrt5-1$이며, 원문에서 제시한 $\displaystyle P=(\frac32,\frac34)$에서 등호가 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

만약 점 $\displaystyle S,P,Q$가 한 직선 위에 있지 않으면, $\displaystyle \overline{QS}-1<\overline{PQ}+\overline{PS}-1$이다. 따라서 직선 $\displaystyle QS$ 위에 있는 점 중 원 바깥에 있는 점 $\displaystyle T$를 잡으면, $\displaystyle \overline{QT}+\overline{RT}=\overline{QS}-1<\overline{PQ}+\overline{PS}-1=\overline{PQ}+\overline{PR}$이 되어 모순이다. 따라서 점 $\displaystyle S,P,Q$는 일직선상에 있어야 하고, $\displaystyle \overline{PQ}+\overline{PR}=\overline{QS}-1$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{QS}$가 최소가 되는 점 $\displaystyle Q$에 대하여 $\displaystyle \overline{QS}-1$의 값이 최솟값이 된다.

곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle (b,b^2)$과 점 $\displaystyle (3,0)$ 사이의 거리의 제곱은 $\displaystyle b^4+b^2-6b+9$이고 이를 미분하면 $\displaystyle 4b^3+2b-6=2(b-1)(2b^2+2b+3)$이므로 $\displaystyle b=1$에서 거리의 제곱이 최소이다. 즉, 점 $\displaystyle (1,1)$과 $\displaystyle (3,0)$을 잇는 선분 위의 점 중 원 밖의 한 점을 $\displaystyle P$로 잡으면 $\displaystyle \overline{PQ}+\overline{PR}$이 최소이다. 예를 들면, 점 $\displaystyle P$로 $\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{3}{4}\right)$을 선택할 수 있다. 이때 $\displaystyle \overline{PQ}+\overline{PR}=\overline{QS}-1=\sqrt{5}-1$이다.