의예과 1번

(1-1) 한 점에서 만나는 경우 교점에서 접선의 기울기가 일치해야 하므로 두 방정식 $\displaystyle (t-p)^2+q=\cos t$, $\displaystyle 2(t-p)=-\sin t$를 얻는다.$\displaystyle p,q$를 각각 $\displaystyle t$에 대하여 풀면$\displaystyle p=t+\frac{\sin t}{2},\ q=\cos t-\left(\frac{\sin t}{2}\right)^2$

(1-2) $\displaystyle \frac{dp}{dt}=1+\frac{\cos t}{2}>0$이므로 $\displaystyle p=\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$인 $\displaystyle t$는 $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$가 유일하다. 제시문 (가)를 이용하여 $\displaystyle g^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$를 구하면$\displaystyle g^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{q^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{p^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)}=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1-3) 제시문 (나)와 (다)를 이용하여 적분을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}g(x)dx&=\int_0^{2\pi}\left(\cos t-\left(\frac{\sin t}{2}\right)^2\right)\left(1+\frac{\cos t}{2}\right)dt=\int_0^{2\pi}\left(\cos t+\frac{\cos^2t}{2}-\frac{\sin^2t}{4}-\frac{\sin^2t\cos t}{8}\right)dt\\&=\int_0^{2\pi}\left(\frac{1+\cos2t}{4}-\frac{1-\cos2t}{8}-\frac{\sin^2t\cos t}{8}\right)dt=\Biggl[\frac{1}{8}t+\frac{3}{16}\sin2t-\frac{1}{24}\sin^3t\Biggr]_0^{2\pi}=\frac{\pi}{4}\end{aligned}$