자연계열 (오후) 3번

(3-1) 구간 $\displaystyle (a,b)$와 $\displaystyle (b,c)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$에 제시문 (가)의 평균값 정리를 적용하면 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(d)$인 $\displaystyle d\in(a,b)$와 $\displaystyle \frac{f(c)-f(b)}{c-b}=f^{\prime}(e)$인 $\displaystyle e\in(b,c)$가 존재한다.

이때, $\displaystyle d<e$이고 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(d)<f^{\prime}(e)$이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(3-2) 어떤 양의 실수 $\displaystyle \alpha$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)>1$이 성립한다고 가정하자.

$\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가하므로 제시문 (가)의 평균값 정리에 의해 $\displaystyle \beta>\alpha$인 모든 $\displaystyle \beta$에 대하여 $\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=k\ge f^{\prime}(\alpha)>1$이다. (3-1)에 의해 $\displaystyle x>\beta$인 임의의 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \frac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta}>\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=k>1$이고 $\displaystyle f(x)>f(\beta)+k(x-\beta)$이다.

따라서 $\displaystyle x>\frac{k\beta-f(\beta)}{k-1}$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)>f(\beta)+k(x-\beta)>x$이므로 $\displaystyle f(x)\le x$에 모순이다. 그러므로 모든 $\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le1$이다.

(3-3) $\displaystyle x=2$일 때 미분값이 같아야 하는데 $\displaystyle g(x)=px^2$의 도함수는 $\displaystyle g^{\prime}(x)=2px$이고 $\displaystyle g(x)=x-\ln x+q$의 도함수는 $\displaystyle g^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(2)=4p=1-\frac{1}{2}$이어야 한다. 즉, $\displaystyle p=\frac{1}{8}$이다.

한편, $\displaystyle x=2$일 때 함숫값이 같아야 하므로 $\displaystyle g(2)=\frac{1}{2}=2-\ln2+q$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle q=\ln2-\frac{3}{2}$이다.

그러면 모든 $\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle g(x)\le x$이고 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)>0$이다. 그러므로 $\displaystyle p=\frac{1}{8}$, $\displaystyle q=\ln2-\frac{3}{2}$일 때, $\displaystyle g(x)$는 (3-2)의 조건을 만족하는 함수이다.