자연계열 (오후) 1번

(1-1) $\displaystyle u=\pi-x$라 하면 제시문 (가)를 이용하여 치환적분법을 적용하고, 삼각함수의 성질을 활용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi((x-\pi)^8+(x-\pi)^2+\sin^3x)dx&=-\int_\pi^0(u^8+u^2+\sin^3(\pi-u))du\\&=\int_0^\pi(u^8+u^2+(1-\cos^2u)\sin u)du=\int_0^\pi(u^8+u^2+\sin u)du-\int_0^\pi\sin u\cos^2u\,du\end{aligned}$를 얻는다. 여기서 변수 $\displaystyle y=\cos u$에 대해서 제시문 (가)의 치환적분법을 적용하면 $\displaystyle \int_0^\pi\sin u\cos^2u\,du=\int_{-1}^1 y^2dy$가 된다. 따라서 주어진 적분값은$\displaystyle \Biggl[\frac{u^9}{9}+\frac{u^3}{3}-\cos u\Biggr]_0^\pi-\Biggl[\frac{y^3}{3}\Biggr]_{-1}^1=\frac{\pi^9}{9}+\frac{\pi^3}{3}+\frac{4}{3}$

(1-2) $\displaystyle u=\pi-x$라 하면, 제시문 (가)의 치환적분법에 의해$\displaystyle \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\int_0^\pi(\pi-u)f(\sin(\pi-u))du=\pi\int_0^\pi f(\sin u)du-\int_0^\pi uf(\sin u)du$

이고 $\displaystyle \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx$를 얻는다.

(1-3) 닫힌구간 $\displaystyle [-\pi,\pi]$에서 함수의 대칭성을 이용하면,$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi\frac{(x+1)\sin^3x}{2-\cos^2x}dx=\int_{-\pi}^\pi\frac{x\sin^3x}{2-\cos^2x}dx+\int_{-\pi}^\pi\frac{\sin^3x}{2-\cos^2x}dx=2\int_0^\pi\frac{x\sin^3x}{2-\cos^2x}dx$이다. (1-2)에서 증명한 식과 제시문 (가)의 치환적분법을 이용하면,

$\displaystyle \begin{aligned}2\int_0^\pi\frac{x\sin^3x}{2-\cos^2x}dx&=\pi\int_0^\pi\frac{\sin^3x}{2-\cos^2x}dx=\pi\int_0^\pi\frac{1-\cos^2x}{2-\cos^2x}\sin xdx=\pi\int_{-1}^1\frac{1-u^2}{2-u^2}du\\&=\pi\int_{-1}^1\left(1-\frac{1}{2-u^2}\right)du=2\pi-\pi\int_{-1}^1\frac{1}{(\sqrt{2}+u)(\sqrt{2}-u)}du=2\pi-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_{-1}^1\left(\frac{1}{\sqrt{2}+u}+\frac{1}{\sqrt{2}-u}\right)du\end{aligned}$을 얻는다. 여기서 제시문 (나)에 의해$\displaystyle 2\pi-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_{-1}^1\left(\frac{1}{\sqrt{2}+u}+\frac{1}{\sqrt{2}-u}\right)du=2\pi-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\Biggl[\ln|\sqrt{2}+u|-\ln|\sqrt{2}-u|\Biggr]_{-1}^1=2\pi-\frac{\pi}{\sqrt{2}}\ln(3+2\sqrt{2})$이다.