자연계열 1번

(1-1) 제시문 (가)에 의해$\displaystyle 2=\int_{-1}^1\{2(f(x))^{2}+\sin^{2}\pi x\}dx\ge\int_{-1}^1 2|\sqrt{2}f(x)\sin\pi x|dx\ge\int_{-1}^1 2\sqrt{2}f(x)|\sin\pi x|dx$이다.

$\displaystyle |\sqrt{2}f(x)|=|\sin\pi x|$이면 첫 번째 부등식에서 등호가 성립하고, $\displaystyle |f(x)|=f(x)$이면 두 번째 부등식에서 등호가 성립한다. 역으로 등호가 성립하면$\displaystyle \begin{aligned}0&=\int_{-1}^1\{2(f(x))^{2}+\sin^{2}\pi x\}dx-\int_{-1}^1 2\sqrt{2}f(x)|\sin\pi x|dx\\&=\int_{-1}^1(\sqrt{2}f(x)-|\sin\pi x|)^{2}dx\end{aligned}$이다. 제시문 (나)에 의해서 함수 $\displaystyle (\sqrt{2}f(x)-|\sin\pi x|)^{2}$는 반드시 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 상수이어야 하고 또한 $\displaystyle 0$이어야 하므로 반드시 $\displaystyle \sqrt{2}f(x)=|\sin\pi x|$이어야 한다.따라서 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin\pi x|}{\sqrt{2}}$이고 구하고자 하는 적분의 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$이다.

(1-2) 제시문 (가)와 치환적분 및 조건 (ⅰ), (ⅱ)에 의해$\displaystyle \int_0^2\left\{(2e^x f^{\prime}(x))^{2}+\frac{1}{(e^x f(x))^{2}}\right\}dx\ge\int_0^2 4\left|\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right|dx=-4\int_0^2\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=-4\Biggl[\ln f(x)\Biggr]_0^2=8$이 성립한다.

등호가 성립할 때는 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle |2f^{\prime}(x)f(x)|=e^{-2x}$이 성립할 때이고, 정적분의 최솟값은 $\displaystyle 8$이다. 조건 (ⅰ)에 의해 $\displaystyle -2f^{\prime}(x)f(x)=e^{-2x}$이다.

따라서 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle \left((f(x))^{2}-\frac{e^{-2x}}{2}\right)^{\prime}=0$이다. 조건 (ⅱ) 및 정적분과 부정적분의 관계로부터 $\displaystyle 0\le x\le2$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle (f(x))^{2}-\frac{e^{-2x}}{2}=\int_0^x0dx=0$이고 $\displaystyle f(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac{e^{-x}}{\sqrt{2}}\ (0\le x\le2)$이다.이제 이 함수가 등호 조건을 만족하는 유일한 함수임을 보이자. 등호 조건으로부터$\displaystyle \begin{aligned}0&=\int_0^2\left\{(2e^x f^{\prime}(x))^{2}+\frac{1}{(e^x f(x))^{2}}\right\}dx-\int_0^2 4\left|\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right|dx\\&=\int_0^2\left(|2e^x f^{\prime}(x)|-\left|\frac{1}{e^x f(x)}\right|\right)^{2}dx\end{aligned}$이므로 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle |2e^x f^{\prime}(x)|-\left|\frac{1}{e^x f(x)}\right|=0$이고 이를 정리하면 위의 조건을 만족하는 함수는 유일하다. 따라서 $\displaystyle f(1)=\frac{1}{\sqrt{2}e}$이고 정적분의 값은 $\displaystyle 8$이다.