자연계열 (오후) 1번

(1-1) 제시문 (가)에 의하여, $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=n\sin^{n-1}x\cos^{2}x-\sin^{n+1}x=\sin^{n-1}x(n\cos^{2}x-\sin^{2}x)=\sin^{n-1}x\{(n+1)\cos^{2}x-1\}$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(t)=0$이라 하면, $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \cos^{2}t=\frac{1}{n+1}$이다. 또한 $\displaystyle 0<x<t$, $\displaystyle t<x<\frac{\pi}{2}$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 반대이므로, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=t$에서 극값을 가지고 $\displaystyle a_n=t$이다. 또한 $\displaystyle 0<a_n<\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \cos a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$이고 $\displaystyle \tan a_n=\frac{\sin a_n}{\cos a_n}=\frac{\sqrt{1-\cos^{2}a_n}}{\cos a_n}=\sqrt{n}$이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\tan(2a_n)=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\frac{2\tan a_n}{1-\tan^{2}a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n}=-2$이다.

(1-2) $\displaystyle b_n=f(a_n)=\sin^{n}a_n\cos a_n=\left(\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right)^{n}\frac{1}{\sqrt{n+1}}$이다.

$\displaystyle (1+\sqrt{n})b_n=\left(\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right)^{n}\times\frac{1+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-\frac{n}{2}}\times\frac{1+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}^{-\frac{1}{2}}\times\frac{1+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$이므로,

제시문 (나)에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1+\sqrt{n})b_n=\lim_{n\to\infty}\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}^{-\frac{1}{2}}\times\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$이다.