자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$라 하자.$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=\frac{f(x+1)-f(x-1)}{2}=\frac{(x+1)^{4}-(x-1)^{4}}{2}+a\frac{(x+1)^{3}-(x-1)^{3}}{2}\\&\quad+b\frac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{2}+c\frac{(x+1)-(x-1)}{2}+d(1-1)\\&=(4x^{3}+4x)+a(3x^{2}+1)+2bx+c=f^{\prime}(x)+(4x+a)\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle g(x)-f^{\prime}(x)=4x+a$이다.

(3-2) 함수 $\displaystyle f(x)$는 모든 정수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle f(k-2)\le f(k)\le f(k+2)$ 또는 $\displaystyle f(k-2)\ge f(k)\ge f(k+2)$ ······ ㉠을 만족하고, $\displaystyle 2g(k)=f(k+1)-f(k-1)$이므로$\displaystyle -2g(k-1)\le0\le2g(k+1)$ 또는 $\displaystyle -2g(k-1)\ge0\ge2g(k+1)$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 모든 정수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle g(k+1)g(k-1)\ge0$ ······ ㉡를 만족하고, ㉡은 ㉠이기 위한 필요충분조건이다.

$\displaystyle g(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 4$인 삼차함수이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$이다. 그러므로 $\displaystyle g(2i)=0$을 만족하는 정수 $\displaystyle i$와 $\displaystyle g(2j+1)=0$을 만족하는 정수 $\displaystyle j$가 존재한다. 두 정수해 $\displaystyle 2i$와 $\displaystyle 2j+1$의 차이가 $\displaystyle 3$ 이상인 경우 $\displaystyle g(2i-1)g(2i+1)<0$ 또는 $\displaystyle g(2j)g(2j+2)<0$이 되어 모순이므로, 두 정수해는 이웃하는 정수이고 이를 $\displaystyle n$, $\displaystyle n+1$이라 하자. 삼차방정식 $\displaystyle g(x)=0$의 나머지 해 $\displaystyle \alpha$가 $\displaystyle \alpha<n-1$ 또는 $\displaystyle n+2<\alpha$이면 $\displaystyle k-1<\alpha<k+1$이고 $\displaystyle g(k+1)g(k-1)<0$인 $\displaystyle k$가 존재하여 모순이므로$\displaystyle n-1\le\alpha\le n+2$ ······ ㉢이다. 그러므로 방정식 $\displaystyle g(x)=0$은 이웃한 두 정수해를 가지고, 방정식 $\displaystyle g(x)=0$의 임의의 두 근의 차는 $\displaystyle 2$ 이하이며, 이는 ㉠이기 위한 필요충분조건이다.

$\displaystyle a=1$일 때, $\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)+(4x+1)$이므로 삼차함수 $\displaystyle g(x)$의 최고차항의 계수는 $\displaystyle 4$이고, 이차항의 계수는 $\displaystyle 3$이다.$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=4(x-n)(x-n-1)(x-\alpha)\\&=4x^{3}-4(2n+1+\alpha)x^{2}+4(n^{2}+n+2n\alpha+\alpha)x-4n(n+1)\alpha\end{aligned}$ ······ ㉣그러므로 $\displaystyle g(x)$의 이차항의 계수가 $\displaystyle 3$이므로 $\displaystyle 2n+1+\alpha=-\frac{3}{4}$이다. ㉢에 의하여, $\displaystyle 3n\le-\frac{3}{4}\le3n+3$이고 $\displaystyle n=-1$, $\displaystyle \alpha=\frac{1}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=4(x+1)x\left(x-\frac{1}{4}\right)$이고, 방정식 $\displaystyle g(x)=0$의 근은 $\displaystyle -1,0,\frac{1}{4}$이다.

(3-3) $\displaystyle g\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{2}\times\left(f\left(\frac{9}{4}\right)-f\left(\frac{1}{4}\right)\right)=0$이므로, $\displaystyle \alpha=\frac{5}{4}$이고 $\displaystyle g(x)=4(x-n)(x-n-1)\left(x-\frac{5}{4}\right)$이다. ㉢에 의하여 정수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n-1\le\frac{5}{4}\le n+2$을 만족하므로 $\displaystyle n=0,1,2$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=g(x)-(4x+a)$에서 양변의 이차항의 계수를 비교하면, ㉣에 의하여 $\displaystyle 3a=-4\left(2n+1+\frac{5}{4}\right)$이므로$\displaystyle a=-\left(\frac{8}{3}n+3\right)$이다. 그러므로 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 다음과 같이 표현된다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=4(x-n)(x-n-1)\left(x-\frac{5}{4}\right)-4x+\left(\frac{8}{3}n+3\right)\\&=4x^{3}-(8n+9)x^{2}+(4n^{2}+14n+1)x-\left(5n^{2}+\frac{7}{3}n-3\right)\end{aligned}$

$\displaystyle n$에 따라서 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 각각 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}n=0:\ f^{\prime}(x)&=4x(x-1)\left(x-\frac{5}{4}\right)-4x+3&=4x^{3}-9x^{2}+x+3.\\n=1:\ f^{\prime}(x)&=4(x-1)(x-2)\left(x-\frac{5}{4}\right)-4x+\frac{17}{3}&=4x^{3}-17x^{2}+19x-\frac{13}{3}\\n=2:\ f^{\prime}(x)&=4(x-2)(x-3)\left(x-\frac{5}{4}\right)-4x+\frac{25}{3}&=4x^{3}-25x^{2}+45x-\frac{65}{3}\end{aligned}$