의예과 2번

(2-1) 직선 $\displaystyle AB$의 기울기는 $\displaystyle -1$이고 직선 $\displaystyle AB$는 점 $\displaystyle A(a,b)$를 지나므로, 직선 $\displaystyle AB$의 방정식은 $\displaystyle y=-(x-a)+b$이고 직선 $\displaystyle CD$의 방정식은$\displaystyle y=-(x-a)+(b+5)$ ······ ㉠이다. 점 $\displaystyle A(a,b)$는 곡선 $\displaystyle y=2^x$ 위의 점이므로 $\displaystyle b=2^a$이고,$\displaystyle b+4=2^{(a+1)-1}+4$ ······ ㉡이다. ㉠에 의하여 점 $\displaystyle P(a+1,b+4)$는 직선 $\displaystyle CD$ 위에 있고, ㉡에 의하여 점 $\displaystyle P$는 곡선 $\displaystyle y=2^{x-1}+4$ 위에 있으므로, 점 $\displaystyle P$는 직선 $\displaystyle CD$와 곡선 $\displaystyle y=2^{x-1}+4$의 교점이다.

(2-2) $\displaystyle y=2^{x-1}+4$의 그래프와 $\displaystyle y=\log_2(x-4)+1$의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$에 의하여 대칭이므로, 점 $\displaystyle C$는 점 $\displaystyle P$를 대칭이동한 점이다. (2-1)에 의하여, 점 $\displaystyle A$의 좌표가 $\displaystyle (a,b)$이면 점 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle (a+1,b+4)$이고 점 $\displaystyle C$는 $\displaystyle C(b+4,a+1)$이다. 점 $\displaystyle B$는 점 $\displaystyle A(a,b)$를 직선 $\displaystyle y=x$에 의하여 대칭이동한 점이므로 $\displaystyle B(b,a)$이고, 점 $\displaystyle D$는 점 $\displaystyle C(b+4,a+1)$에서 직선 $\displaystyle y=x$에 내린 수선의 발이므로 $\displaystyle D\left(\frac{a+b+5}{2},\frac{a+b+5}{2}\right)$이다.따라서 $\displaystyle A$의 좌표가 $\displaystyle (3,8)$이면 $\displaystyle a=3$, $\displaystyle b=8$이므로 $\displaystyle B(8,3)$, $\displaystyle C(12,4)$, $\displaystyle D(8,8)$이고,$\displaystyle \overline{AC}=\sqrt{(12-3)^{2}+(4-8)^{2}}=\sqrt{97},$$\displaystyle \overline{BD}=\sqrt{(8-8)^{2}+(8-3)^{2}}=5$이다.

(2-3) 사각형 $\displaystyle ABCD$가 평행사변형이므로 사각형의 두 대각선 $\displaystyle AC$와 $\displaystyle BD$의 중점은 서로 같다.$\displaystyle \left(\frac{a+b+4}{2},\frac{a+b+1}{2}\right)=\left(\frac{a+3b+5}{4},\frac{3a+b+5}{4}\right)$그러므로 $\displaystyle b-a=3$이다. 선분 $\displaystyle AB$의 길이는$\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(a-b)^{2}+(b-a)^{2}}=|b-a|\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$이고, 두 직선 $\displaystyle AB$와 $\displaystyle CD$ 사이의 거리는$\displaystyle \big|$(직선 $\displaystyle AB$의 $\displaystyle y$절편) $\displaystyle -$ (직선 $\displaystyle CD$의 $\displaystyle y$절편)$\displaystyle \big|\times\frac{\sqrt{2}}{2}=5\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$이므로, 사각형 $\displaystyle ABCD$의 넓이는 $\displaystyle 3\sqrt{2}\times\frac{5}{2}\sqrt{2}=15$이다.