의예과 3번

(3-1) $\displaystyle g(t)$의 식으로부터 사차함수 $\displaystyle p(x)$의 그래프의 개형을 보면 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=3$에서 극솟값을 갖고, $\displaystyle p(0)=p(2)$임을 알 수 있다. 특히, $\displaystyle p(x)$는 $\displaystyle x=3$에서 최소이다.$\displaystyle p^{\prime}(x)=4x(x-a)(x-3)$ (단, $\displaystyle 0<a<3$)이라고 놓을 수 있고,$\displaystyle p(x)=x^{4}-\left(4+\frac{4a}{3}\right)x^{3}+6ax^{2}+C$이다. $\displaystyle p(0)=p(2)$이므로 $\displaystyle \frac{40}{3}a-16=0$이다.그러므로 $\displaystyle a=\frac{6}{5}$이고 $\displaystyle p(x)=x^{4}-\frac{28}{5}x^{3}+\frac{36}{5}x^{2}+C$이다.따라서 $\displaystyle p(1)-p(0)=\frac{13}{5}$이다.

(3-2) $\displaystyle q^{\prime}(0)>0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}h^{\prime}(x)=1$, $\displaystyle \lim_{x\to0^-}h^{\prime}(x)=0$이므로 좌극한$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{(q\circ h)(x)-q(0)}{x}=\lim_{x\to0^-}\frac{q(0)-q(0)}{x}=0$과 우극한$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{(q\circ h)(x)-q(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{q(x)-q(0)}{x}=q^{\prime}(0)$이 같지 않아서 함수 $\displaystyle (q\circ h)(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하지 않다. 마찬가지로 $\displaystyle q^{\prime}(0)<0$이면 함수 $\displaystyle (q\circ h)(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하지 않다. 따라서 $\displaystyle q^{\prime}(0)=0$이다.

먼저 사차함수 $\displaystyle q(x)$의 최고차항의 계수가 양수라고 가정하자. 사잇값의 정리에 의하여 $\displaystyle q(a)=q(b)=4$인 가장 큰 음수 $\displaystyle a$와 가장 작은 양수 $\displaystyle b$가 존재한다. $\displaystyle x\le a$ 또는 $\displaystyle x\ge b$이면 $\displaystyle (q\circ h)(x)=4$이므로, $\displaystyle x=a$와 $\displaystyle x=b$에서 $\displaystyle (q\circ h)(x)$가 미분가능하려면 $\displaystyle q^{\prime}(a)=q^{\prime}(b)=0$이어야 한다. 사차함수의 그래프의 개형으로부터 이는 가능하지 않다. 따라서 사차함수 $\displaystyle q(x)$의 최고차항의 계수는 음수이다.

구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 $\displaystyle q(x)$의 최댓값을 $\displaystyle M$이라 하자. 문제의 조건에서 $\displaystyle M\ge q(1)>q(0)$이고 $\displaystyle q(b)=M$인 양수 $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle q^{\prime}(b)=0$이다. 마찬가지로 구간 $\displaystyle (-\infty,0]$에서 $\displaystyle q(x)$가 $\displaystyle x=a$일 때 최대이면 $\displaystyle q^{\prime}(a)=0$이다. $\displaystyle M<4$이면 잇값의 정리에 의하여 $\displaystyle q(\gamma)=-4$인 가장 작은 양수 $\displaystyle \gamma$가 존재하고 $\displaystyle x\ge\gamma$이면 $\displaystyle (q\circ h)(x)=-4$이므로, $\displaystyle x=\gamma$에서 $\displaystyle (q\circ h)(x)$가 미분가능하려면 $\displaystyle q^{\prime}(\gamma)=0$이어야 한다.Correction. ‘잇값의 정리’는 ‘사잇값의 정리’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.사차함수는 $\displaystyle 4$개의 서로 다른 점에서 미분값이 $\displaystyle 0$이 될 수 없으므로 이는 가능하지 않다.Comment. 왼쪽 구간의 최대점 $\displaystyle a$가 $\displaystyle 0$일 수도 있으므로, 이 단계만으로 도함수의 서로 다른 영점이 네 개라고 할 수는 없다. 합성함수의 연속성을 먼저 사용하면 보완할 수 있다. $\displaystyle q(h(0))=2$이고 $\displaystyle f(h(t))\ge0$이므로 연속인 $\displaystyle q\circ h$의 값은 $\displaystyle [2,6]$을 벗어날 수 없다. 따라서 양쪽에서 $\displaystyle f$가 처음 $\displaystyle 1$이 될 때에는 $\displaystyle q=4$여야 하며, 그 지점의 미분가능성으로 $\displaystyle q^{\prime}=0$을 얻는다. 이를 $\displaystyle q^{\prime}(0)=0$과 함께 사용하면 양쪽 극댓값이 모두 $\displaystyle 4$임을 얻는다.마찬가지로 $\displaystyle M>4$이면 $\displaystyle q(\gamma)=4$ 또는 $\displaystyle q(\gamma)=4$인 가장 작은 양수 $\displaystyle \gamma$에 대하여 $\displaystyle q^{\prime}(\gamma)=0$이어야 하고 이는 가능하지 않으므로 $\displaystyle M=4$이다.Correction. 같은 식 $\displaystyle q(\gamma)=4$가 두 번 적혀 있다. $\displaystyle M>4$인 이 경우에는 가장 먼저 $\displaystyle q(\gamma)=4$가 되는 양수 $\displaystyle \gamma$를 살피면 된다.같은 방법으로 구간 $\displaystyle (-\infty,0]$에서 $\displaystyle q(x)$의 최댓값도 $\displaystyle 4$임을 알 수 있다.

따라서 음수 $\displaystyle \alpha$와 양수 $\displaystyle \beta$가 존재하여, $\displaystyle q^{\prime}(x)=cx(x-\alpha)(x-\beta)$이고, $\displaystyle q(\alpha)=q(\beta)=4$이다. (단, $\displaystyle c<0$은 상수)$\displaystyle q^{\prime}(x)$를 적분하면 $\displaystyle q(0)=2$이므로, $\displaystyle q(x)=c\left(\frac{1}{4}x^{4}-\frac{\alpha+\beta}{3}x^{3}+\frac{\alpha\beta}{2}x^{2}\right)+2$이다.$\displaystyle \begin{aligned}q(\alpha)-q(\beta)&=c\left\{\frac{1}{4}(\alpha^{4}-\beta^{4})-\frac{\alpha+\beta}{3}(\alpha^{3}-\beta^{3})+\frac{\alpha\beta}{2}(\alpha^{2}-\beta^{2})\right\}\\&=\frac{c}{12}(\alpha-\beta)\{3(\alpha+\beta)(\alpha^{2}+\beta^{2})-4(\alpha+\beta)(\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2})+6\alpha\beta(\alpha+\beta)\}\\&=\frac{c}{12}(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)\{3(\alpha^{2}+\beta^{2})-4(\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2})+6\alpha\beta\}\\&=-\frac{c}{12}(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)^{3}=0\end{aligned}$Correction. 이 줄의 인수분해는 $\displaystyle -\frac{c}{12}(\alpha-\beta)^3(\alpha+\beta)$이다. 두 인수의 지수가 바뀌어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로, $\displaystyle \alpha=-\beta$이고, $\displaystyle q(x)=c\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{\beta^{2}}{2}x^{2}\right)+2$이다.

$\displaystyle q(\beta)=-\frac{\beta^{4}c}{4}+2=4$이므로, $\displaystyle c=-\frac{8}{\beta^{4}}$이다. $\displaystyle q(1)=\frac{23}{8}$이므로, $\displaystyle -\frac{8}{\beta^{4}}\left(\frac{1}{4}-\frac{\beta^{2}}{2}\right)+2=\frac{23}{8}$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle 7\beta^{4}-32\beta^{2}+16=(\beta^{2}-4)(7\beta^{2}-4)=0$이므로, $\displaystyle \beta^{2}=4$ 또는 $\displaystyle \beta^{2}=\frac{4}{7}$이다.각각의 경우 $\displaystyle q(x)=-\frac{x^{4}}{8}+x^{2}+2$ 또는 $\displaystyle q(x)=-\frac{49}{8}x^{4}+7x^{2}+2$이다.