자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x\neq0$일 때, 연속이다. 따라서 임의의 다항식 $\displaystyle f(x)$에 대해서 $\displaystyle f(x)g(x)$는 $\displaystyle x\neq0$에서 연속이다. 또한 만일 $\displaystyle f(0)\neq0$이고 $\displaystyle f(x)g(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이면$\displaystyle \lim_{x\to0^-}g(x)=\frac{\lim_{x\to0^-}f(x)g(x)}{\lim_{x\to0^-}f(x)}=\frac{\lim_{x\to0^+}f(x)g(x)}{\lim_{x\to0^+}f(x)}=\lim_{x\to0^+}g(x)$가 되어 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속임을 의미하므로 $\displaystyle f(0)=0$이어야 한다. 그러므로 주어진 조건으로부터 다항식 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(x)=x^{n}h(x)\ (n\ge1,\ h(x)$는 $\displaystyle h(0)\neq0$인 다항식)의 형태이어야 한다. $\displaystyle f(x)g(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)g(x)=\lim_{x\to0^-}x^{n}(x+1)h(x)=0=\lim_{x\to0^+}x^{n-1}h(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)g(x)$이다. 따라서 $\displaystyle n\ge2$이고 $\displaystyle f(x)$의 차수는 $\displaystyle 2$ 이상이다. $\displaystyle f(x)=x^{2}$이 $\displaystyle f(2)=4$와 문제의 조건을 만족하므로 이 함수가 구하려는 다항함수이다.

(2-2) $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-1,0,1$ 이외의 모든 실수에서 미분가능하다. 임의의 다항함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 $\displaystyle f(x)g(x)$는 $\displaystyle x=-1,0,1$ 이외의 실수에서 미분가능하다. (2-1)로부터 $\displaystyle f(0)=0$이다. $\displaystyle f(1)\neq0$이라고 가정하자. $\displaystyle f(x)g(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}&=\lim_{x\to1^-}\left(\frac{f(x)g(x)-f(1)g(1)}{f(x)(x-1)}-\frac{f(x)g(1)-f(1)g(1)}{f(x)(x-1)}\right)\\&=\lim_{x\to1^-}\left(\frac{f(x)g(x)-f(1)g(1)}{f(x)(x-1)}\right)-\frac{f^{\prime}(1)g(1)}{f(1)}\\&=\lim_{x\to1^+}\left(\frac{f(x)g(x)-f(1)g(1)}{f(x)(x-1)}\right)-\frac{f^{\prime}(1)g(1)}{f(1)}=\lim_{x\to1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}\end{aligned}$이다. 따라서 제시문에 의하여 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하므로 모순이다. 그러므로 $\displaystyle f(1)=0$이고 마찬가지 방법으로 $\displaystyle f(-1)=0$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=x^{a}(x-1)^{b}(x+1)^{c}h(x)\ (a,b,c\ge1,\ h(x)$는 $\displaystyle h(-1)h(0)h(1)\neq0$인 다항함수)이다.

(ⅰ) $\displaystyle x=-1$에서 미분가능할 필요충분조건은 제시문에 의하여 다음 두 극한값이 같은 것이다.$\displaystyle \lim_{x\to-1^-}\frac{f(x)g(x)-f(-1)g(-1)}{x+1}=-f(-1)$$\displaystyle \lim_{x\to-1^+}\frac{f(x)g(x)-f(-1)g(-1)}{x+1}=f(-1)$따라서 $\displaystyle f(x)g(x)$가 $\displaystyle x=-1$에서 미분가능할 필요충분조건은 $\displaystyle c\ge1$이다.(ⅱ) $\displaystyle x=0$에서 미분가능한 함수는 연속이므로 (2-1)로부터 $\displaystyle a\ge2$임을 알 수 있다. 따라서$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)g(x)-f(0)g(0)}{x}=0,$$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)g(x)-f(0)g(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)g(x)}{x}=\lim_{x\to0^+}x^{a-2}(x-1)^{b}(x+1)h(x)$Comment. 원문의 중간 식은 최소차수를 택한 $\displaystyle a=3$, $\displaystyle c=1$인 경우이다. 일반형을 유지하면 $\displaystyle (x+1)$ 대신 $\displaystyle (x+1)^c$를 쓰고, $\displaystyle x=1$에서의 두 극한식에는 $\displaystyle x^2$, $\displaystyle x^4$ 대신 각각 $\displaystyle x^{a-1}$, $\displaystyle x^{a+1}$을 써야 한다. 최종 답에는 영향이 없다.이다. 제시문에 의하여 두 값이 같아야 하므로 $\displaystyle f(x)g(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능할 필요충분조건은 $\displaystyle a\ge3$이다.(ⅲ) $\displaystyle x=1$에서 미분가능할 필요충분조건은 제시문에 의하여 다음 두 극한값이 같은 것이다.$\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)g(x)-f(1)g(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^-}x^{2}(x-1)^{b-1}(x+1)h(x)$$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)g(x)-f(1)g(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}x^{4}(x-1)^{b-1}(x+1)h(x)$따라서 $\displaystyle f(x)g(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능할 필요충분조건은 $\displaystyle b\ge1$이다.그러므로 주어진 조건 $\displaystyle f(2)=4$를 만족하는 다항함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle h(x)=\frac{1}{6}$일 때$\displaystyle f(x)=\frac{1}{6}x^{3}(x-1)(x+1)$이다.

(2-3) $\displaystyle x=1$ 근처에서 $\displaystyle f(x)g(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(x)g(x)=\begin{cases}\frac{1}{6}x^{2}(x^{2}-1)&(0<x\le1)\\\frac{1}{6}x^{4}(x^{2}-1)&(x>1)\end{cases}$따라서$\displaystyle \lim_{x\to1^-}(f(x)g(x))^{\prime}=\lim_{x\to1^-}\left\{\frac{1}{3}x(x^{2}-1)+\frac{1}{3}x^{3}\right\}=\frac{1}{3},\quad\lim_{x\to1^+}(f(x)g(x))^{\prime}=\lim_{x\to1^+}\left\{\frac{2}{3}x^{3}(x^{2}-1)+\frac{1}{3}x^{5}\right\}=\frac{1}{3}$이다. $\displaystyle f(x)=\frac{1}{6}x^{3}(x-1)(x+1)$이므로 구하고자 하는 값은 다음과 같다.$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+|f(x)|)}{\ln x}=\lim_{x\to\infty}\frac{5\ln x+\ln\left(\frac{1}{x^{5}}+\left|\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\right|\right)}{\ln x}=5$