공학계열 2-1번

매개변수 $\displaystyle t$에 대하여 위치 $\displaystyle x(t)$, $\displaystyle y(t)$를 미분하면$\displaystyle \frac{dx}{dt}=t(2\sin t+t\cos t)$$\displaystyle \frac{dy}{dt}=t(2\cos t-t\sin t)$

시각 $\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=a$까지 움직인 거리 $\displaystyle s$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}s&=\int_0^a\sqrt{\{x^{\prime}(t)\}^2+\{y^{\prime}(t)\}^2}\,dt\\&=\int_0^a\sqrt{t^2(4\sin^2t+4t\sin t\cos t+t^2\cos^2t)+t^2(4\cos^2t-4t\sin t\cos t+t^2\sin^2t)}\,dt\\&=\int_0^a t\sqrt{4(\sin^2t+\cos^2t)+t^2(\sin^2t+\cos^2t)}\,dt\end{aligned}$$\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1$이므로,$\displaystyle s=\int_0^a t\sqrt{4+t^2}\,dt$

시각 $\displaystyle t=0$일 때 점 $\displaystyle (0,0)$을 출발하여 움직인 거리가 $\displaystyle \frac{19}{3}$가 될 때의 양의 시각 $\displaystyle a$는$\displaystyle \int_0^a t\sqrt{4+t^2}\,dt=\Biggl[\frac13(t^2+4)^{\frac32}\Biggr]_0^a$

$\displaystyle \frac13(a^2+4)^{\frac32}-\frac83=\frac{19}{3}$따라서 $\displaystyle a=\sqrt5$