이학계열 2-1번

$\displaystyle f^{\prime}(x)=-3x^2+6$이므로$\displaystyle x=\pm\sqrt2$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$.$\displaystyle x=\pm\sqrt2$에서 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 조사하면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle x=-\sqrt2$에서 극솟값 $\displaystyle -4\sqrt2$를 갖고 $\displaystyle x=\sqrt2$에서 극댓값 $\displaystyle 4\sqrt2$를 갖는다.

그러므로 $\displaystyle (-\sqrt2,-4\sqrt2)$와 $\displaystyle (\sqrt2,4\sqrt2)$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle m=\frac{4\sqrt2-(-4\sqrt2)}{\sqrt2-(-\sqrt2)}=4$이다.

직선 $\displaystyle y=4x+k$와 $\displaystyle y=f(x)$가 만나는 점은 $\displaystyle 4x+k=f(x)$가 만나는 점의 개수이므로, $\displaystyle y=k$와 $\displaystyle y=-x^3+2x$의 교점의 개수를 구하자. 즉,$\displaystyle g(x)=-x^3+2x$라 할 때, $\displaystyle g^{\prime}(x)=-3x^2+2$이므로, $\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac23}$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$이다.$\displaystyle g(x)$의 증가와 감소를 조사하면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle -\frac{4\sqrt6}{9}<k<\frac{4\sqrt6}{9}$일 때 $\displaystyle y=4x+k$와 서로 다른 세 점에서 만난다.