수리논술, 이게 다다.

공학계열 1-5번

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문제

마) 첫째항이 a\displaystyle a, 공차가 d\displaystyle d인 등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항 an\displaystyle a_n은an=a+(n−1)d\displaystyle a_n=a+(n-1)d (단, n=1,2,3,⋯\displaystyle n=1,2,3,\cdots),첫째항이 b\displaystyle b, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열 {bn}\displaystyle \{b_n\}의 일반항 bn\displaystyle b_n은bn=brn−1\displaystyle b_n=br^{n-1} (단, n=1,2,3,⋯\displaystyle n=1,2,3,\cdots)

[문제 1-5] 0\displaystyle 0이 아닌 네 개의 실수 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c, d\displaystyle d가 다음의 조건을 만족한다.

(가) a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c가 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

(나) b\displaystyle b, c\displaystyle c, d\displaystyle d가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

da\displaystyle \frac{d}{a}의 최솟값을 구하시오.

해설강의 준비중
+2점 · 등비수열의 정의로부터 관계식을 구할 수 있다.

공비를 r\displaystyle r라 하자. a,b,c\displaystyle a,b,c가 등비수열이므로 b=ar\displaystyle b=ar, c=ar2\displaystyle c=ar^2

+2점 · 등차수열의 정의로부터 관계식을 구할 수 있다.

또한, b,c,d\displaystyle b,c,d는 등차수열이므로 d−c=c−b\displaystyle d-c=c-b에서

+3점 · 공비를 변수로 갖는 이차식을 구할 수 있다.

d=2c−b=a(2r2−r)\displaystyle d=2c-b=a(2r^2-r)이다.

+3점 · 이차식의 최솟값을 구할 수 있다.

da=2r2−r=2(r2−12r+116)−18=2(r−14)2−18\displaystyle \frac da=2r^2-r=2\left(r^2-\frac12r+\frac1{16}\right)-\frac18=2\left(r-\frac14\right)^2-\frac18이므로, r=14\displaystyle r=\frac14일 때, 최솟값은 −18\displaystyle -\frac18이다.

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