이학계열 2-2번

$\displaystyle 3x^2-5(a+1)x+3a^2=0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 $\displaystyle D>0$이어야 하므로$\displaystyle D=\{5(a+1)\}^2-36a^2=-11a^2+50a+25>0$따라서 $\displaystyle -\frac5{11}<a<5$이다. ------①

그런데 두 근이 모두 양수이려면 두 근의 합과 곱이 $\displaystyle 0$ 보다 커야 하므로 $\displaystyle a>-1$과 $\displaystyle a\ne0$을 만족해야 한다.--②

따라서 ①과 ②에 의해 $\displaystyle -\frac5{11}<a<0$, $\displaystyle 0<a<5$이다.

$\displaystyle -\sqrt\beta$, $\displaystyle -\sqrt\alpha$, $\displaystyle \sqrt\alpha$, $\displaystyle \sqrt\beta$의 순서로 등차수열을 이루고 있으므로, 등차수열의 성질에 의해 $\displaystyle 2\sqrt\alpha=-\sqrt\alpha+\sqrt\beta$이므로$\displaystyle 3\sqrt\alpha=\sqrt\beta$, 즉 $\displaystyle \beta=9\alpha$이다.또한 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle \alpha+\beta=\alpha+9\alpha=\frac53(a+1)$---①이고 $\displaystyle \alpha\beta=9\alpha^2=a^2$---②이므로,

①에서 $\displaystyle \alpha=\frac16(a+1)$를 ②에 대입하면, $\displaystyle \frac14(a+1)^2=a^2$.$\displaystyle a$에 대한 이차방정식을 풀면 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle 1$, $\displaystyle -\frac13$.