공학계열 1-1번

(1) $\displaystyle a$의 값 (5점)$\displaystyle x\neq1$에서의 함수 $\displaystyle f(x)$의 분자를 인수분해 하면$\displaystyle x^3-4x^2+5x-2=(x-1)^2(x-2)$분모를 인수분해 하면$\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$[1점]따라서 $\displaystyle x\neq1$에서$\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)}=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$[2점]

미분가능하므로 연속이다.$\displaystyle a=\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)}=0$따라서$\displaystyle a=0$ 이다.[2점]

(2) $\displaystyle f^{\prime}(1)$의 값 (5점)(1)에 의해 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$이다.[1점]$\displaystyle f(x)$의 분자를 $\displaystyle N(x)$, 분모를 $\displaystyle D(x)$라 하자.$\displaystyle N(x)=x^2-3x+2$, $\displaystyle D(x)=x+1$이다.함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{N^{\prime}(x)D(x)-N(x)D^{\prime}(x)}{\{D(x)\}^2}=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+2)}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-5}{(x+1)^2}$[2점]

따라서,$\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{1+2-5}{(1+1)^2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$[2점]

(3) 함수 $\displaystyle f(x)$가 증가하는 구간 (5점)도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x^2+2x-5}{(x+1)^2}$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=\sqrt{6}-1$ ($\displaystyle x>0$)[2점]

함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들면

따라서, 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [\sqrt{6}-1,\infty)$에서 증가한다.[3점]