공학계열 2-1번

(1) 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{(ar)^2+(ar^2)^2-a^2}{2\cdot ar\cdot ar^2}=\frac{r^4+r^2-1}{2r^3}$

(2) 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{(ar^2)^2+a^2-(ar)^2}{2\cdot ar^2\cdot a}=\frac{r^4-r^2+1}{2r^2}$

(3) 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$이므로 $\displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}=\frac ba=\frac{ar}{a}=r$

(4) 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$이므로 $\displaystyle \frac{\sin C}{\sin A}=\frac ca=\frac{ar^2}{a}=r^2$

(5) $\displaystyle \sin(B-A)$, $\displaystyle \sin A$, $\displaystyle \sin C$는 순서대로 등차수열을 이루므로$\displaystyle 2\sin A=\sin(B-A)+\sin C$삼각함수의 덧셈정리를 적용하면$\displaystyle 2\sin A=\sin B\cos A-\sin A\cos B+\sin C$[4점](1)-(4)의 결과를 적용하면$\displaystyle 2\sin A=r\sin A\frac{r^4+r^2-1}{2r^3}-\sin A\frac{r^4-r^2+1}{2r^2}+r^2\sin A$삼각형을 이루는 경우 $\displaystyle \sin A\neq0$이므로 양변을 $\displaystyle \sin A$로 나누면$\displaystyle 2=r\frac{r^4+r^2-1}{2r^3}-\frac{r^4-r^2+1}{2r^2}+r^2=\frac{r^4+r^2-1}{2r^2}-\frac{r^4-r^2+1}{2r^2}+r^2=1-\frac{1}{r^2}+r^2$이 식을 정리하면 $\displaystyle r^4-r^2-1=0$[5점]$\displaystyle r^2=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$인데, $\displaystyle r^2>0$이므로 $\displaystyle r^2=\frac{1+\sqrt5}{2}$[4점]