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공학계열 2-1번

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한국항공대 2026학년도 수시 공학계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/gonghak_2_1

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※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 삼각형 ABC에 대하여 다음이 성립한다.BC‾sin⁡A=CA‾sin⁡B=AB‾sin⁡C\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{CA}}{\sin B}=\frac{\overline{AB}}{\sin C}

나) 삼각형 ABC에 대하여 다음이 성립한다.AB‾2=BC‾2+CA‾2−2BC‾×CA‾×cos⁡C\displaystyle \overline{AB}^2=\overline{BC}^2+\overline{CA}^2-2\overline{BC}\times\overline{CA}\times\cos CBC‾2=CA‾2+AB‾2−2CA‾×AB‾×cos⁡A\displaystyle \overline{BC}^2=\overline{CA}^2+\overline{AB}^2-2\overline{CA}\times\overline{AB}\times\cos ACA‾2=AB‾2+BC‾2−2AB‾×BC‾×cos⁡B\displaystyle \overline{CA}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AB}\times\overline{BC}\times\cos B

다) 삼각함수의 덧셈정리sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

라) 세 수 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, b\displaystyle b를 a\displaystyle a와 c\displaystyle c의 등차중항이라고 한다. 이때 b=a+c2\displaystyle b=\frac{a+c}{2}임을 알 수 있다.

마) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라고 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다.

[문제 2-1] 삼각형 ABC에서 각 변의 길이를 BC‾=a\displaystyle \overline{BC}=a, CA‾=b\displaystyle \overline{CA}=b, AB‾=c\displaystyle \overline{AB}=c라 하자. a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c는 이 순서대로 공비가 r\displaystyle r인 등비수열을 이룬다. sin⁡(B−A)\displaystyle \sin(B-A), sin⁡A\displaystyle \sin A, sin⁡C\displaystyle \sin C는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 다음의 (1)~(4)를 r\displaystyle r에 대한 식으로 나타내고, (1)~(4)를 이용하여 (5)의 물음에 답하시오.

(1) cos⁡A\displaystyle \cos A

(2) cos⁡B\displaystyle \cos B

(3) sin⁡Bsin⁡A\displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}

(4) sin⁡Csin⁡A\displaystyle \frac{\sin C}{\sin A}

(5) r2\displaystyle r^2의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2026학년도 수시 공학계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/gonghak_2_1

[문제 2-1]

+3.5점 · 코사인법칙을 적용하여 cos⁡A\displaystyle \cos A를 r\displaystyle r로 표현할 수 있는가.

(1) 코사인법칙에 의해 cos⁡A=b2+c2−a22bc=(ar)2+(ar2)2−a22⋅ar⋅ar2=r4+r2−12r3\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{(ar)^2+(ar^2)^2-a^2}{2\cdot ar\cdot ar^2}=\frac{r^4+r^2-1}{2r^3}

+3.5점 · 코사인법칙을 적용하여 cos⁡B\displaystyle \cos B를 r\displaystyle r로 표현할 수 있는가.

(2) 코사인법칙에 의해 cos⁡B=c2+a2−b22ca=(ar2)2+a2−(ar)22⋅ar2⋅a=r4−r2+12r2\displaystyle \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{(ar^2)^2+a^2-(ar)^2}{2\cdot ar^2\cdot a}=\frac{r^4-r^2+1}{2r^2}

+2.5점 · 사인법칙을 적용하여 sin⁡Bsin⁡A\displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}를 r\displaystyle r로 표현할 수 있는가.

(3) 사인법칙에 의해 asin⁡A=bsin⁡B\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}이므로 sin⁡Bsin⁡A=ba=ara=r\displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}=\frac ba=\frac{ar}{a}=r

+2.5점 · 사인법칙을 적용하여 sin⁡Csin⁡A\displaystyle \frac{\sin C}{\sin A}를 r\displaystyle r로 표현할 수 있는가.

(4) 사인법칙에 의해 asin⁡A=csin⁡C\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}이므로 sin⁡Csin⁡A=ca=ar2a=r2\displaystyle \frac{\sin C}{\sin A}=\frac ca=\frac{ar^2}{a}=r^2

+13점 · (1)-(4)의 결과를 활용하여 r2\displaystyle r^2의 값을 구할 수 있는가.

(5) sin⁡(B−A)\displaystyle \sin(B-A), sin⁡A\displaystyle \sin A, sin⁡C\displaystyle \sin C는 순서대로 등차수열을 이루므로2sin⁡A=sin⁡(B−A)+sin⁡C\displaystyle 2\sin A=\sin(B-A)+\sin C삼각함수의 덧셈정리를 적용하면2sin⁡A=sin⁡Bcos⁡A−sin⁡Acos⁡B+sin⁡C\displaystyle 2\sin A=\sin B\cos A-\sin A\cos B+\sin C[4점](1)-(4)의 결과를 적용하면2sin⁡A=rsin⁡Ar4+r2−12r3−sin⁡Ar4−r2+12r2+r2sin⁡A\displaystyle 2\sin A=r\sin A\frac{r^4+r^2-1}{2r^3}-\sin A\frac{r^4-r^2+1}{2r^2}+r^2\sin A삼각형을 이루는 경우 sin⁡A≠0\displaystyle \sin A\neq0이므로 양변을 sin⁡A\displaystyle \sin A로 나누면2=rr4+r2−12r3−r4−r2+12r2+r2=r4+r2−12r2−r4−r2+12r2+r2=1−1r2+r2\displaystyle 2=r\frac{r^4+r^2-1}{2r^3}-\frac{r^4-r^2+1}{2r^2}+r^2=\frac{r^4+r^2-1}{2r^2}-\frac{r^4-r^2+1}{2r^2}+r^2=1-\frac{1}{r^2}+r^2이 식을 정리하면 r4−r2−1=0\displaystyle r^4-r^2-1=0[5점]r2=1±52\displaystyle r^2=\frac{1\pm\sqrt5}{2}인데, r2>0\displaystyle r^2>0이므로 r2=1+52\displaystyle r^2=\frac{1+\sqrt5}{2}[4점]

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