한국항공대 2026학년도 수시 이학계열 1-2번 해설

가) 미분가능한 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

나) 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라고 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta=\frac{c}{a}$

다) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 첫째항이 $\displaystyle a$ , 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라고 하면 $\displaystyle r\ne1$ 일 때, $\displaystyle S_n=a\frac{(1-r^n)}{1-r}$ $\displaystyle r=1$ 일 때, $\displaystyle S_n=na$

라) 함수 $\displaystyle y=\sin x$ 는 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 인 주기 함수이다.

[문제 1-2] 이차방정식 $\displaystyle 4x^2-2x+1=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 하자. $\displaystyle a_n=\alpha^n+\beta^n$ 일 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n$ 의 값을 구하시오.

한국항공대 2026학년도 수시 이학계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/ihak_1_2

+13점 · 답과 풀이 과정이 모두 맞는 경우

근과 계수와의 관계에 따라서 $\displaystyle \alpha+\beta=\frac12$ , $\displaystyle \alpha\beta=\frac14$ 이므로 $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\frac14-2\times\frac14=-\frac14$ 이다. $\displaystyle \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=\frac18-\frac34\times\frac12=-\frac14$ $\displaystyle (2x+1)(4x^2-2x+1)=0$ 이므로 $\displaystyle x^3=-\frac18$ $\displaystyle a_1+a_2+a_3=0$ 이고, $\displaystyle a_4+a_5+a_6=-\frac18(a_1+a_2+a_3)$ 이고자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{3n+1}+a_{3n+2}+a_{3n+3}=-\frac18(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n})$ 이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n=a_{100}=\alpha^{100}+\beta^{100}=(\alpha^{33})^3\alpha+(\beta^{33})^3\beta=(\alpha^3)^{33}(\alpha+\beta)=\left(-\frac18\right)^{33}\times\frac12=-\frac{1}{2^{100}}$ 답 $\displaystyle -\frac{1}{2^{100}}$

하위문항	채점기준	배점
1-2	답과 풀이 과정이 모두 맞는 경우	13
1-2	풀이 과정은 이해하기 어렵거나 불완전하나 최종 답이 맞는 경우	6
1-2	풀이 과정 중 마지막에 간단한 계산 실수가 있는 경우	9

아래의 별해 모두 정답 처리

1) 각 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 의 복소수값을 구해서 패턴을 찾아 푼 경우

2) 기타 납득할 만한 방법으로 푼 경우

채점기준

● 답과 풀이 과정이 모두 맞는 경우: 13

● 이해할 수 없는 과정과 답만 맞은 경우: 6

● 풀이과정 중에 마지막에 간단한 계산 실수가 있는 경우: 9

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이학계열 1-2번

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