[정답 1-2] (총 15점) x = ( 1 + cos 2 t ) cos 2 t = cos 2 t + cos 2 2 t \displaystyle x=(1+\cos2t)\cos2t=\cos2t+\cos^22t x = ( 1 + cos 2 t ) cos 2 t = cos 2 t + cos 2 2 t y = ( 1 + cos 2 t ) sin 2 t = sin 2 t + cos 2 t sin 2 t \displaystyle y=(1+\cos2t)\sin2t=\sin2t+\cos2t\sin2t y = ( 1 + cos 2 t ) sin 2 t = sin 2 t + cos 2 t sin 2 t
+3점 · 매개변수로 나타내어진 함수를 미분하여 d x / d t \displaystyle dx/dt d x / d t d y / d t \displaystyle dy/dt d y / d t (1) d y d x \displaystyle \frac{dy}{dx} d x d y t \displaystyle t t 식 x ( t ) \displaystyle x(t) x ( t ) y ( t ) \displaystyle y(t) y ( t ) t \displaystyle t t d x d t = − 2 sin 2 t − 2 sin 2 t cos 2 t − 2 cos 2 t sin 2 t = − 2 sin 2 t − 2 sin 4 t \displaystyle \frac{dx}{dt}=-2\sin2t-2\sin2t\cos2t-2\cos2t\sin2t=-2\sin2t-2\sin4t d t d x = − 2 sin 2 t − 2 sin 2 t cos 2 t − 2 cos 2 t sin 2 t = − 2 sin 2 t − 2 sin 4 t d y d t = 2 cos 2 t − 2 sin 2 t sin 2 t + 2 cos 2 t cos 2 t = 2 cos 2 t + 2 cos 4 t \displaystyle \frac{dy}{dt}=2\cos2t-2\sin2t\sin2t+2\cos2t\cos2t=2\cos2t+2\cos4t d t d y = 2 cos 2 t − 2 sin 2 t sin 2 t + 2 cos 2 t cos 2 t = 2 cos 2 t + 2 cos 4 t [3점]
+2점 · d y / d x \displaystyle dy/dx d y / d x t \displaystyle t t 따라서, d y d x \displaystyle \frac{dy}{dx} d x d y t \displaystyle t t d y d x = d y d t d x d t = 2 cos 2 t + 2 cos 4 t − 2 sin 2 t − 2 sin 4 t = cos 2 t + cos 4 t − sin 2 t − sin 4 t = − cos 2 t + cos 4 t sin 2 t + sin 4 t \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2\cos2t+2\cos4t}{-2\sin2t-2\sin4t}=\frac{\cos2t+\cos4t}{-\sin2t-\sin4t}=-\frac{\cos2t+\cos4t}{\sin2t+\sin4t} d x d y = d t d x d t d y = − 2 sin 2 t − 2 sin 4 t 2 cos 2 t + 2 cos 4 t = − sin 2 t − sin 4 t cos 2 t + cos 4 t = − sin 2 t + sin 4 t cos 2 t + cos 4 t [2점]
+3점 · 삼각함수의 덧셈정리 등을 활용하여 속력을 나타내는 식을 정리할 수 있다. (2) 점 P의 속력 v \displaystyle v v t \displaystyle t t 점 P의 속력 v \displaystyle v v v = ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = 4 sin 2 2 t + 8 sin 2 t sin 4 t + 4 sin 2 4 t + 4 cos 2 2 t + 8 cos 2 t cos 4 t + 4 cos 2 4 t = 2 2 + 2 ( sin 2 t sin 4 t + cos 2 t cos 4 t ) = 2 2 + 2 ( 2 sin 2 2 t cos 2 t + cos 2 t ( 1 − 2 sin 2 2 t ) ) = 2 2 + 2 cos 2 t = ( 2 2 ) 1 + ( 2 cos 2 t − 1 ) = ( 2 2 ) 2 cos 2 t = − 4 cos t ( π 2 ≤ t ≤ 3 π 2 ) \displaystyle \begin{aligned}v&=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\\&=\sqrt{4\sin^22t+8\sin2t\sin4t+4\sin^24t+4\cos^22t+8\cos2t\cos4t+4\cos^24t}\\&=2\sqrt{2+2(\sin2t\sin4t+\cos2t\cos4t)}\\&=2\sqrt{2+2(2\sin^22t\cos2t+\cos2t(1-2\sin^22t))}\\&=2\sqrt{2+2\cos2t}\\&=(2\sqrt2)\sqrt{1+(2\cos^2t-1)}\\&=(2\sqrt2)\sqrt{2\cos^2t}\\&=-4\cos t\quad\left(\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{3\pi}{2}\right)\end{aligned} v = ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 = 4 sin 2 2 t + 8 sin 2 t sin 4 t + 4 sin 2 4 t + 4 cos 2 2 t + 8 cos 2 t cos 4 t + 4 cos 2 4 t = 2 2 + 2 ( sin 2 t sin 4 t + cos 2 t cos 4 t ) = 2 2 + 2 ( 2 sin 2 2 t cos 2 t + cos 2 t ( 1 − 2 sin 2 2 t )) = 2 2 + 2 cos 2 t = ( 2 2 ) 1 + ( 2 cos 2 t − 1 ) = ( 2 2 ) 2 cos 2 t = − 4 cos t ( 2 π ≤ t ≤ 2 3 π ) [3점]
+3점 · 속력이 최대가 되는 시각 t \displaystyle t t 식 ①에서 속력 v \displaystyle v v t = π \displaystyle t=\pi t = π [2점] P의 위치는 ( 2 , 0 ) \displaystyle (2,0) ( 2 , 0 ) [1점]
+2점 · 평면 위를 움직이는 점의 이동 거리 공식을 이용하여 정적분 식을 세울 수 있다. (3) 점 P가 움직인 거리 (4점) 점 P가 움직인 거리를 s \displaystyle s s s = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = 4 ∫ π 2 3 π 2 ∣ cos t ∣ d t \displaystyle \begin{aligned}s&=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\\&=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}|\cos t|\,dt\end{aligned} s = ∫ a b ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 d t = 4 ∫ 2 π 2 3 π ∣ cos t ∣ d t π 2 ≤ t ≤ 3 π 2 \displaystyle \frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{3\pi}{2} 2 π ≤ t ≤ 2 3 π ∣ cos t ∣ = − cos t \displaystyle |\cos t|=-\cos t ∣ cos t ∣ = − cos t [2점]
+2점 · 정적분을 정확히 계산하여 이동 거리를 도출할 수 있다. s = 4 ∫ π 2 3 π 2 ( − cos t ) d t = − 4 [ sin t ] π 2 3 π 2 = − 4 [ ( − 1 ) − ( 1 ) ] = 8 \displaystyle \begin{aligned}s&=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(-\cos t)\,dt\\&=-4\Biggl[\sin t\Biggr]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\\&=-4[(-1)-(1)]=8\end{aligned} s = 4 ∫ 2 π 2 3 π ( − cos t ) d t = − 4 [ sin t ] 2 π 2 3 π = − 4 [( − 1 ) − ( 1 )] = 8 따라서, 거리는 8이다. [2점]
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.