공학계열 1-2번

(1) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$를 $\displaystyle t$에 대한 식 (5점)식 $\displaystyle x(t)$, $\displaystyle y(t)$를 $\displaystyle t$로 미분을 하면$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-2\sin2t-2\sin2t\cos2t-2\cos2t\sin2t=-2\sin2t-2\sin4t$$\displaystyle \frac{dy}{dt}=2\cos2t-2\sin2t\sin2t+2\cos2t\cos2t=2\cos2t+2\cos4t$[3점]

따라서, $\displaystyle \frac{dy}{dx}$를 $\displaystyle t$에 대한 식으로 표현하면 다음과 같다.$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2\cos2t+2\cos4t}{-2\sin2t-2\sin4t}=\frac{\cos2t+\cos4t}{-\sin2t-\sin4t}=-\frac{\cos2t+\cos4t}{\sin2t+\sin4t}$[2점]

(2) 점 P의 속력 $\displaystyle v$이 최대가 되는 시각 $\displaystyle t$ 및 점 P의 위치 (6점)점 P의 속력 $\displaystyle v$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}v&=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\\&=\sqrt{4\sin^22t+8\sin2t\sin4t+4\sin^24t+4\cos^22t+8\cos2t\cos4t+4\cos^24t}\\&=2\sqrt{2+2(\sin2t\sin4t+\cos2t\cos4t)}\\&=2\sqrt{2+2(2\sin^22t\cos2t+\cos2t(1-2\sin^22t))}\\&=2\sqrt{2+2\cos2t}\\&=(2\sqrt2)\sqrt{1+(2\cos^2t-1)}\\&=(2\sqrt2)\sqrt{2\cos^2t}\\&=-4\cos t\quad\left(\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{3\pi}{2}\right)\end{aligned}$ ①[3점]

식 ①에서 속력 $\displaystyle v$이 최대인 시각은 $\displaystyle t=\pi$ 이므로[2점]P의 위치는 $\displaystyle (2,0)$이다.[1점]

(3) 점 P가 움직인 거리 (4점)점 P가 움직인 거리를 $\displaystyle s$라 하자.$\displaystyle \begin{aligned}s&=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\\&=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}|\cos t|\,dt\end{aligned}$$\displaystyle \frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{3\pi}{2}$이므로 $\displaystyle |\cos t|=-\cos t$[2점]

$\displaystyle \begin{aligned}s&=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(-\cos t)\,dt\\&=-4\Biggl[\sin t\Biggr]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\\&=-4[(-1)-(1)]=8\end{aligned}$따라서, 거리는 8이다.[2점]