수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

공학계열 2-2번

한국항공대 2026학년도 수시 공학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/gonghak_2_2

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※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 삼각형 ABC에 대하여 다음이 성립한다.BC‾sin⁡A=CA‾sin⁡B=AB‾sin⁡C\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{CA}}{\sin B}=\frac{\overline{AB}}{\sin C}

나) 삼각형 ABC에 대하여 다음이 성립한다.AB‾2=BC‾2+CA‾2−2BC‾×CA‾×cos⁡C\displaystyle \overline{AB}^2=\overline{BC}^2+\overline{CA}^2-2\overline{BC}\times\overline{CA}\times\cos CBC‾2=CA‾2+AB‾2−2CA‾×AB‾×cos⁡A\displaystyle \overline{BC}^2=\overline{CA}^2+\overline{AB}^2-2\overline{CA}\times\overline{AB}\times\cos ACA‾2=AB‾2+BC‾2−2AB‾×BC‾×cos⁡B\displaystyle \overline{CA}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AB}\times\overline{BC}\times\cos B

다) 삼각함수의 덧셈정리sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

[문제 2-2] 그림과 같이 정사각형 ABCD의 내부에 점 P가 있다. PA‾=5\displaystyle \overline{PA}=5, PB‾=8\displaystyle \overline{PB}=8, PC‾=13\displaystyle \overline{PC}=13이다. △PAB\displaystyle \triangle\mathrm{PAB}를 점 B를 중심으로 시계 방향으로 90∘\displaystyle 90^{\circ}회전시킨 삼각형을 △QCB\displaystyle \triangle\mathrm{QCB}라고 하자.

정사각형 ABCD 내부의 점 P와 회전하여 얻은 점 Q

다음을 구하시오.

(1) PQ‾\displaystyle \overline{PQ}

(2) cos⁡(∠CPQ)\displaystyle \cos(\angle\mathrm{CPQ})

(3) sin⁡(∠CPQ)\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CPQ})

(4) cos⁡(∠BPC)\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BPC})

(5) (1)~(4)를 이용하여 정사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2026학년도 수시 공학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2026su/gonghak_2_2

[문제 2-2]

+4점 · △PAB≡△QCB\displaystyle \triangle\mathrm{PAB}\equiv\triangle\mathrm{QCB}를 활용하여 PQ‾\displaystyle \overline{PQ}의 값을 구할 수 있는가.

(1) △PAB≡△QCB\displaystyle \triangle\mathrm{PAB}\equiv\triangle\mathrm{QCB}이므로 PB‾=QB‾\displaystyle \overline{PB}=\overline{QB}이고, 90∘\displaystyle 90^{\circ}회전이므로 ∠PBQ=90∘\displaystyle \angle\mathrm{PBQ}=90^{\circ}.삼각형 PBQ는 직각 이등변 삼각형.PQ‾=2⋅PB‾=82\displaystyle \overline{PQ}=\sqrt2\cdot\overline{PB}=8\sqrt2

+5점 · 코사인법칙을 활용하여 cos⁡(∠CPQ)\displaystyle \cos(\angle\mathrm{CPQ})의 값을 구할 수 있는가.

(2)cos⁡(∠CPQ)=PC‾2+PQ‾2−QC‾22⋅PC‾⋅PQ‾=132+(82)2−522⋅13⋅82=1361042=68522=34262=17132=17226\displaystyle \begin{aligned}\cos(\angle\mathrm{CPQ})&=\frac{\overline{PC}^2+\overline{PQ}^2-\overline{QC}^2}{2\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PQ}}\\&=\frac{13^2+(8\sqrt2)^2-5^2}{2\cdot13\cdot8\sqrt2}\\&=\frac{136}{104\sqrt2}=\frac{68}{52\sqrt2}=\frac{34}{26\sqrt2}=\frac{17}{13\sqrt2}=\frac{17\sqrt2}{26}\end{aligned}

+5점 · sin⁡(∠CPQ)\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CPQ})의 값을 계산할 수 있는가.

(3) ∠CPQ\displaystyle \angle\mathrm{CPQ}는 삼각형의 한 각이므로 (0,π)\displaystyle (0,\pi)내에 존재한다.따라서 sin⁡(∠CPQ)\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CPQ})는 양수이다.sin⁡(∠CPQ)=1−(17226)2=98676=49338=7132=7226\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CPQ})=\sqrt{1-\left(\frac{17\sqrt2}{26}\right)^2}=\sqrt{\frac{98}{676}}=\sqrt{\frac{49}{338}}=\frac{7}{13\sqrt2}=\frac{7\sqrt2}{26}

+5점 · cos⁡(∠BPC)\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BPC})의 값을 계산할 수 있는가.

(4)cos⁡(∠BPC)=cos⁡(∠CPQ+45∘)=cos⁡(∠CPQ)⋅cos⁡(45∘)−sin⁡(∠CPQ)⋅sin⁡(45∘)=17226⋅22−7226⋅22=513\displaystyle \begin{aligned}\cos(\angle\mathrm{BPC})&=\cos(\angle\mathrm{CPQ}+45^{\circ})\\&=\cos(\angle\mathrm{CPQ})\cdot\cos(45^{\circ})-\sin(\angle\mathrm{CPQ})\cdot\sin(45^{\circ})\\&=\frac{17\sqrt2}{26}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{7\sqrt2}{26}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\\&=\frac{5}{13}\end{aligned}

+6점 · 코사인법칙을 활용하여 BC‾2\displaystyle \overline{BC}^2의 값을 계산할 수 있는가.

(5) 정사각형 ABCD의 넓이는 한 변의 길이의 제곱과 같으므로,BC‾2=PC‾2+PB‾2−2⋅PC‾⋅PB‾⋅cos⁡(∠BPC)=132+82−2⋅13⋅8⋅513=153\displaystyle \begin{aligned}\overline{BC}^2&=\overline{PC}^2+\overline{PB}^2-2\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PB}\cdot\cos(\angle\mathrm{BPC})\\&=13^2+8^2-2\cdot13\cdot8\cdot\frac{5}{13}\\&=153\end{aligned}

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