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자연계열 1번

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고려대 서울캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2025su/jayeon_1

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문제

다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

함수 f(x)\displaystyle f(x)는 다음 조건을 만족시킨다.(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)가 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 연속이다.(나) f(0)=0, f(1)=1\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=1(다) 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이고 f(x)≤x\displaystyle f(x)\le x이다.(라) ∫012xf′(x) dx=13192\displaystyle \int_0^{\frac12}xf^{\prime}(x)\,dx=\frac{13}{192}(마) 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 함수 g(x)\displaystyle g(x)를 다음과 같이 정의하자.g(x)=∫0x(1−f(t)) dt+3∫x1f(t) dt\displaystyle g(x)=\int_0^x(1-f(t))\,dt+3\int_x^1f(t)\,dt이때, 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=12\displaystyle x=\frac12에서 극값 6148\displaystyle \frac{61}{48}을 갖는다.

1-1) f(12)\displaystyle f\left(\frac12\right)의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (5점)

1-2) ∫01∣f(x)−14∣dx\displaystyle \int_0^1\left|f(x)-\frac14\right|dx의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (15점)

1-3) lim⁡n→∞1n∑k=1n∣f(f(kn))−kn∣f′(kn)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left|f\left(f\left(\frac kn\right)\right)-\frac kn\right|f^{\prime}\left(\frac kn\right)의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (15점)

해설강의 준비중

고려대 서울캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2025su/jayeon_1

+5점 · 조건 (마)에서 주어진 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 x=0\displaystyle x=0에서 극값을 갖는다는 사실로부터 g′(0)=0\displaystyle g^{\prime}(0)=0임을 파악하고, 이로부터 f(12)\displaystyle f\left(\frac12\right)의 값을 구하는 문제임. 그 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

Correction. 채점기준의 x=0\displaystyle x=0과 g′(0)=0\displaystyle g^{\prime}(0)=0은 각각 x=12\displaystyle x=\frac12과 g′(12)=0\displaystyle g^{\prime}\left(\frac12\right)=0의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

1-1) 조건 (마)에서 g′(12)=1−4f(12)=0\displaystyle g^{\prime}\left(\frac12\right)=1-4f\left(\frac12\right)=0으로부터 f(12)=14\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac14를 얻는다.

+15점 · 다음의 세 가지 사실을 주어진 조건으로부터 파악할 수 있다. - 문항 1-1)로부터 구한 f(12)=14\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac14, - 조건 (가), (나), (다)를 이용하여 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프를 파악, - 조건 (라), (마)를 활용하여 ∫012f(x) dx\displaystyle \int_0^{\frac12}f(x)\,dx 및 ∫121f(x) dx\displaystyle \int_{\frac12}^1f(x)\,dx의 값을 구함. 위 세 가지 사실을 활용하여 ∫01∣f(x)−14∣dx\displaystyle \int_0^1\left|f(x)-\frac14\right|dx의 값을 구하는 문제임. 그 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

1-2) 조건 (가), (나), (다)로부터 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프는 다음과 같은 꼴이다.

단위 정사각형 안에서 y=x 아래를 지나는 함수 f

A=∫012f(t) dt, B=∫121f(t) dt\displaystyle A=\int_0^{\frac12}f(t)\,dt,\ B=\int_{\frac12}^1f(t)\,dt라 놓으면, 조건 (라)로부터∫012xf′(x) dx=[xf(x)]012−∫012f(x) dx=13192\displaystyle \int_0^{\frac12}xf^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[xf(x)\Biggr]_0^{\frac12}-\int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\frac{13}{192}를 얻고A=∫012f(x) dx=18−13192=11192\displaystyle A=\int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\frac18-\frac{13}{192}=\frac{11}{192}을 얻는다.조건 (마)에서 g(12)=∫012(1−f(t)) dt+3∫121f(t) dt=12−A+3B=6148\displaystyle g\left(\frac12\right)=\int_0^{\frac12}(1-f(t))\,dt+3\int_{\frac12}^1f(t)\,dt=\frac12-A+3B=\frac{61}{48}이다.따라서, 3B=6148−12+A=159192\displaystyle 3B=\frac{61}{48}-\frac12+A=\frac{159}{192}에서 B=53192\displaystyle B=\frac{53}{192}이다.다음 주어진 그림으로부터

x=1/2와 y=1/4를 표시한 함수 f의 그래프 및 적분 A와 B

∫01∣f(x)−14∣dx=(18−A)+(B−18)=B−A=53192−11192=42192=732\displaystyle \int_0^1\left|f(x)-\frac14\right|dx=\left(\frac18-A\right)+\left(B-\frac18\right)=B-A=\frac{53}{192}-\frac{11}{192}=\frac{42}{192}=\frac7{32}을 얻는다.

+15점 · 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 활용하여 주어진 급수를 정적분으로 표현 lim⁡n→∞1n∑k=1n∣f(f(kn))−kn∣f′(kn)=∫01∣f(f(x))−x∣f′(x) dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left|f\left(f\left(\frac kn\right)\right)-\frac kn\right|f^{\prime}\left(\frac kn\right)=\int_0^1|f(f(x))-x|f^{\prime}(x)\,dx 치환적분을 활용하여 ∫01∣f(f(x))−x∣f′(x) dx=∫01∣f(x)−f−1(x)∣dx\displaystyle \int_0^1|f(f(x))-x|f^{\prime}(x)\,dx=\int_0^1|f(x)-f^{-1}(x)|dx임을 파악 함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)의 그래프가 y=x\displaystyle y=x에 대하여 대칭임을 파악하여 위의 적분값을 구하는 문제임. 그 풀이 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

Comment. 여기서 y=x\displaystyle y=x에 대하여 대칭이라는 것은 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)의 두 그래프가 서로 대칭이라는 뜻이다.

1-3) lim⁡n→∞1n∑k=1n∣f(f(kn))−kn∣f′(kn)=∫01∣f(f(x))−x∣f′(x) dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left|f\left(f\left(\frac kn\right)\right)-\frac kn\right|f^{\prime}\left(\frac kn\right)=\int_0^1|f(f(x))-x|f^{\prime}(x)\,dx이고 f(x)=t\displaystyle f(x)=t로 치환하면lim⁡n→∞1n∑k=1n∣f(f(kn))−kn∣f′(kn)=∫01∣f(f(x))−x∣f′(x) dx=∫01∣f(t)−f−1(t)∣dt\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left|f\left(f\left(\frac kn\right)\right)-\frac kn\right|f^{\prime}\left(\frac kn\right)=\int_0^1|f(f(x))-x|f^{\prime}(x)\,dx=\int_0^1|f(t)-f^{-1}(t)|dt이다.y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)의 그래프와 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프는 직선 y=x\displaystyle y=x에 대하여 대칭이므로∫01∣f(t)−f−1(t)∣dt=2∫01(x−f(x)) dx=1−2∫01f(x) dx=1−2(64192)=13\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1|f(t)-f^{-1}(t)|dt&=2\int_0^1(x-f(x))\,dx=1-2\int_0^1f(x)\,dx=1-2\left(\frac{64}{192}\right)=\frac13\end{aligned}이다.

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