자연계열 (오후) 2번

2-1) 삼차함수 $\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$라고 하자. $\displaystyle (a>0)$조건 (가)로부터 $\displaystyle f^{\prime\prime}\left(\frac23\right)=6a\times\frac23+2b=0$이고, $\displaystyle b=-2a$를 얻는다.조건 (나)로부터 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}xf^{\prime}(x)+f(x)&(x\ge0)\\(1-x)e^{-x}+\cos x&(x<0)\end{cases}$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle x=0$에서 연속이어야 하므로 $\displaystyle f(0)=2$를 얻는다.$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{g(h)-g(0)}h$가 존재하기 위해서는 $\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{g(h)-g(0)}h$와 $\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{g(h)-g(0)}h$값이 같아야 한다.$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{g(h)-g(0)}h=\lim_{h\to0+}\frac{hf^{\prime}(h)}h+\lim_{h\to0+}\frac{f(h)-f(0)}h=2f^{\prime}(0),$$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0-}\frac{g(h)-g(0)}h&=\lim_{h\to0-}\frac{(1-h)e^{-h}+\cos(h)-2}h\\&=\lim_{h\to0-}\frac{\cos(h)-1}h+\lim_{h\to0-}\frac{e^{-h}-1}h-\lim_{h\to0-}\frac{he^{-h}}h=-2\end{aligned}$에서 $\displaystyle f^{\prime}(0)=-1$을 얻는다.따라서, 위에서 얻어진 조건 $\displaystyle b=-2a,\ f(0)=2,\ f^{\prime}(0)=-1$로부터$\displaystyle f(x)=ax^3-2ax^2-x+2$가 된다.곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 한 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$가 되고, 이 접선이 $\displaystyle (0,k)$를 지난다는 조건을 활용하면 $\displaystyle k=-2at^3+2at^2+2$를 얻는다.조건 (다)로부터 $\displaystyle \frac{k-2}a=-2t^3+2t^2$을 만족시키는 서로 다른 $\displaystyle t$가 세 개 존재하여야 한다.서로 다른 $\displaystyle t$가 세 개 존재하는 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle 0<\frac{k-2}a<\frac8{27}$이 되고조건 (다)의 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle 0<k-2<\frac8{27}$이므로, $\displaystyle a=1$을 얻는다.따라서, $\displaystyle f(x)=x^3-2x^2-x+2$를 얻는다.

2-2) $\displaystyle F^{\prime}(x)=|f(x)|$이고 $\displaystyle |f(x)|=\begin{cases}f(x)&(0\le x<1)\\-f(x)&(1\le x\le2)\end{cases}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2f(x)e^{F(x)}dx&=\int_0^1f(x)e^{F(x)}dx+\int_1^2f(x)e^{F(x)}dx\\&=\int_0^1F^{\prime}(x)e^{F(x)}dx-\int_1^2F^{\prime}(x)e^{F(x)}dx\\&=\Biggl[e^{F(x)}\Biggr]_0^1-\Biggl[e^{F(x)}\Biggr]_1^2=e^{F(1)}-e^{F(0)}-(e^{F(2)}-e^{F(1)})=2e^{F(1)}-e^{F(0)}-e^{F(2)}\end{aligned}$이때 $\displaystyle F(0)=0,\ F(1)=\int_0^1f(t)\,dt=\frac{13}{12},\ F(2)=\int_0^1f(t)\,dt-\int_1^2f(t)\,dt=\frac32$이므로$\displaystyle 2e^{F(1)}-e^{F(0)}-e^{F(2)}=2e^{\frac{13}{12}}-1-e^{\frac32}$이다. ∴ $\displaystyle \int_0^2f(x)e^{F(x)}dx=2e^{\frac{13}{12}}-e^{\frac32}-1$