자연계열 2번

2-1) 조건 (다)를 이용하면, 어떤 상수 $\displaystyle C$에 대하여, $\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)+C$이 된다.조건 (가)로부터, $\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(-x)$.따라서, $\displaystyle g(-x)=f^{\prime}(-x)+C=f^{\prime}(x)+C=g(x)$

2-2) 2-1)에 의해 $\displaystyle g(x)=g(-x)$이다. 이 사실을 이용하면$\displaystyle \int_0^1g(x)h^{\prime}(-x)\,dx=\int_{-1}^0g(-x)h^{\prime}(x)\,dx=\int_{-1}^0g(x)h^{\prime}(x)\,dx$따라서,$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1g(x)(h^{\prime}(x)+h^{\prime}(-x))\,dx&=\int_0^1g(x)h^{\prime}(x)\,dx+\int_0^1g(x)h^{\prime}(-x)\,dx\\&=\int_0^1g(x)h^{\prime}(x)\,dx+\int_{-1}^0g(x)h^{\prime}(x)\,dx=\int_{-1}^1g(x)h^{\prime}(x)\,dx\end{aligned}$부분적분과 조건 (라)와 (다)를 이용하면$\displaystyle \int_{-1}^1g(x)h^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[g(x)h(x)\Biggr]_{-1}^1-\int_{-1}^1g^{\prime}(x)h(x)\,dx=\pi(2\pi-1)-\int_{-1}^1f^{\prime\prime}(x)h(x)\,dx$그리고 조건 (나), (마)와 부분적분을 이용하면$\displaystyle \int_{-1}^1f^{\prime\prime}(x)h(x)\,dx=-\pi$따라서,$\displaystyle \int_0^1g(x)(h^{\prime}(x)+h^{\prime}(-x))\,dx=2\pi^2$