자연계열 (오후) 3번

3-1) P의 좌표를 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$라 하자. 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(8,6)$과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BP}}=(x-5,y-3)$사이의 각을 $\displaystyle \theta$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2&=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2+2(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}}\\&=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2+2|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{BP}}|\cos\theta\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$의 최솟값은 $\displaystyle \cos\theta=-1$일 때$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2-2|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{BP}}|=101-20=81$이다.$\displaystyle \cos\theta=-1$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BP}}=-k(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})\ (k>0)$이고, $\displaystyle (x,y)=(5,3)-k(8,6)$가 원 $\displaystyle (x-5)^2+(y-3)^2=1$ 위에 있으므로 $\displaystyle k=\frac1{10}$을 얻고 P의 좌표 $\displaystyle (x,y)$는$\displaystyle (x,y)=(5,3)-k(8,6)=(5,3)-\frac1{10}(8,6)=\left(\frac{21}5,\frac{12}5\right)$이다.

3-2)$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm P}+4\overrightarrow{\mathrm A_2\mathrm P}+\overrightarrow{\mathrm A_3\mathrm P}&=(\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B}+\overrightarrow{\mathrm{BP}})+4(\overrightarrow{\mathrm A_2\mathrm B}+\overrightarrow{\mathrm{BP}})+(\overrightarrow{\mathrm A_3\mathrm B}+\overrightarrow{\mathrm{BP}})\\&=\left(-\frac13\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right)+4\left(-\frac23\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right)+\left(-\frac33\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right)\\&=-\frac{12}3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+6\overrightarrow{\mathrm{OB}}+6\overrightarrow{\mathrm{BP}}=-4\overrightarrow{\mathrm{OA}}+6\overrightarrow{\mathrm{OB}}+6\overrightarrow{\mathrm{BP}}=-2(2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}-3\overrightarrow{\mathrm{BP}})\end{aligned}$이고$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm P}+4\overrightarrow{\mathrm A_2\mathrm P}+\overrightarrow{\mathrm A_3\mathrm P}|^2=4|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}-3\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$이고$\displaystyle |2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}-3\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|3\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2-6|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{BP}}|\cos\theta$여기서 $\displaystyle \theta$는 두 벡터 $\displaystyle 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BP}}$가 이루는 각이다.따라서, 구하는 최솟값은 $\displaystyle \cos\theta=1$일 때,$\displaystyle 4\left(|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|3\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2-6|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{BP}}|\right)$이 된다.여기서, $\displaystyle 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2(3,3)-3(5,3)=(-9,-3)$이므로,이 벡터의 크기는 $\displaystyle |2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}$이 된다.반면에, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|=1$이므로, 위의 식에 다 대입하면, 구하는 값은 $\displaystyle 396-72\sqrt{10}$.따라서, $\displaystyle (a,b)=(396,-72)$이다.