자연계열 4번

4-1) 대한대학이 첫째 날 한 경기 이상을 이기는 사건을 $\displaystyle A$라고 하고, 둘째 날 대한대학이 럭비 경기에서 이기는 사건을 $\displaystyle B_1$ 그리고 축구 경기에서 이기는 사건을 $\displaystyle B_2$라 하자. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle P(B_1|A)=x,\ P(B_1|A^c)=x\wedge y,\ P(B_2|A)=y,\ P(B_2|A^c)=x\wedge y$사건 $\displaystyle A$가 일어나는 경우는 야구 승, 축구 승, 혹은 야구 승, 축구 패, 혹은 야구 패, 축구 승이고 각각이 독립이므로 $\displaystyle P(A)=xy+x(1-y)+(1-x)y=x+y-xy$Correction. 첫날 사건 $\displaystyle A$의 세 경우를 나열한 문장의 “축구” 세 곳은 “농구”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Note. 두 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$가 동시에 일어날 수 없을 때, 즉 $\displaystyle A\cap B=\varnothing$일 때 두 사건을 서로 배반이라고 한다. $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$가 성립하면 두 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$를 서로 독립이라고 한다.Caution. 배반사건과 독립사건을 구별해야 한다: 세 경우의 확률을 더하는 근거는 배반성이고, 각 경우의 확률을 곱으로 구하는 근거는 두 경기 결과의 독립성이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, 확률의 곱셈정리에 의해$\displaystyle \begin{aligned}P(B_1)&=P(B_1\cap A)+P(B_1\cap A^c)=P(A)P(B_1|A)+P(A^c)P(B_1|A^c)\\&=x(x+y-xy)+(x\wedge y)(1-x-y+xy)\end{aligned}$

4-2) 위와 마찬가지로$\displaystyle \begin{aligned}P(B_2)&=P(B_2\cap A)+P(B_2\cap A^c)=P(A)P(B_2|A)+P(A^c)P(B_2|A^c)\\&=y(x+y-xy)+(x\wedge y)(1-x-y+xy)\end{aligned}$$\displaystyle x=\frac13$이고 $\displaystyle x\le y$이므로$\displaystyle P(B_1)=x(x+y-xy)+(x\wedge y)(1-x-y+xy)=\frac13$$\displaystyle P(B_2)=y(x+y-xy)+(x\wedge y)(1-x-y+xy)=\frac23y^2+\frac19y+\frac29$.$\displaystyle P(B_1)\le1-P(B_2)$을 만족시키기 위해서는 $\displaystyle \frac13\le1-\left(\frac23y^2+\frac19y+\frac29\right)$.즉, $\displaystyle 6y^2+y-4\le0$이다. 이 부등식과 $\displaystyle y\ge x=\frac13$을 동시에 만족시키는 $\displaystyle y$의 범위는$\displaystyle \frac13\le y\le\frac{-1+\sqrt{97}}{12}$이다.