고려대 서울캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 3번 해설

다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

아래 그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=2,\ \overline{\mathrm{OB}}=3,\ \angle\mathrm{AOB}=\frac\pi3$ 를 만족시키는 삼각형 OAB에 대하여, 선분 OA를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점을 M, 선분 AB를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점을 N이라 하자.

3-1) $\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \vec b=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 라 할 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MN}}$ 을 $\displaystyle \vec a,\ \vec b$ 로 나타내고, 선분 MN의 길이를 구하고 그 이유를 설명하시오. (10점)

3-2) 선분 OB를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}$ 이라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}$ 에서 직선 MN에 내린 수선의 발을 H라고 하자. 이때, 선분 MH의 길이를 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

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+10점 · 벡터의 성질을 활용하여 주어진 벡터

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MN}}

을 두 벡터

\displaystyle \vec a,\ \vec b

로 표현하고, 벡터의 내적을 활용하여

\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|

을 구하는 문제임. 벡터를 사용하지 않고 기하학적인 사실들로부터

\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|

값을 구할 수도 있음. 답을 구하는 과정이 논리적이고 정확하면 좋은 점수를 부여함

3-1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MO}}+\overrightarrow{\mathrm{ON}}=-\frac13\vec a+\left(\frac{2\vec a+\vec b}3\right)=\frac{\vec a+\vec b}3$ 이고 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|^2=\left|\frac{\vec a+\vec b}3\right|^2=\frac19\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot\vec b\right)=\frac19\left(2^2+3^2+2\times2\times3\cos\frac\pi3\right)=\frac{19}9$ 이다. 따라서, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{\sqrt{19}}3$

+10점 ·

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}

을 두 벡터

\displaystyle \vec a,\ \vec b

로 표현하고 벡터의 내적의 정의를 활용하여 선분 MH의 값을 구하는 문제임. 벡터를 사용하지 않고 기하학적인 사실들로부터 답을 구할 수도 있음. 답을 구하는 과정이 논리적이고 정확하면 좋은 점수를 부여함

3-2) 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}=-\frac13\vec a+\frac23\vec b$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{\vec a+\vec b}3$ 사이의 각을 $\displaystyle \alpha$ 라 하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MN}}=|\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|\cos\alpha$ 로부터 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}|\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{\frac{-|\vec a|^2+2|\vec b|^2+\vec a\cdot\vec b}9}{\frac{\sqrt{19}}3}=\frac{17}{3\sqrt{19}}=\frac{17\sqrt{19}}{57}$ 선분 MH의 길이는 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}|\cos\alpha$ 이므로, 정답은 $\displaystyle \frac{17\sqrt{19}}{57}$ 이다.

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자연계열 3번

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