자연계열 3번

3-1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MO}}+\overrightarrow{\mathrm{ON}}=-\frac13\vec a+\left(\frac{2\vec a+\vec b}3\right)=\frac{\vec a+\vec b}3$이고$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|^2=\left|\frac{\vec a+\vec b}3\right|^2=\frac19\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot\vec b\right)=\frac19\left(2^2+3^2+2\times2\times3\cos\frac\pi3\right)=\frac{19}9$이다. 따라서, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{\sqrt{19}}3$

3-2) 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}=-\frac13\vec a+\frac23\vec b$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{\vec a+\vec b}3$사이의 각을 $\displaystyle \alpha$라 하면,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MN}}=|\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|\cos\alpha$로부터$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}|\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{\frac{-|\vec a|^2+2|\vec b|^2+\vec a\cdot\vec b}9}{\frac{\sqrt{19}}3}=\frac{17}{3\sqrt{19}}=\frac{17\sqrt{19}}{57}$선분 MH의 길이는 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}|\cos\alpha$이므로, 정답은 $\displaystyle \frac{17\sqrt{19}}{57}$이다.