자연계열 (오후) 4번

4-1) $\displaystyle n=2$이므로 파란색 공이 $\displaystyle 2$개, 노란색 공이 $\displaystyle 3$개, 진홍색 공이 $\displaystyle 6$개 있을 때, $\displaystyle 4$개의 공을 택하는 경우의 수를 구해야 한다.파란색 공, 노란색 공, 진홍색 공들 중에서 $\displaystyle 4$개를 택해야 하므로 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm H_4={}_6\mathrm C_4={}_6\mathrm C_2=15$이다.이때 파란색 공을 $\displaystyle 3$개 이상 택하는 경우와 노란색 공을 $\displaystyle 4$개 택하는 경우는 일어날 수 없다.파란색 공을 $\displaystyle 3$개 이상 택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm H_1={}_3\mathrm C_1=3$이고, 노란색 공을 $\displaystyle 4$개 택하는 경우는 수는 $\displaystyle 1$이다. 이때 파란색 공을 $\displaystyle 3$개 이상 택하는 경우와 노란색 공을 $\displaystyle 4$개 택하는 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 $\displaystyle 15-3-1=11$이다.혹은 다음 문제인 4-2)에서 구하는 일반항 $\displaystyle a_n$에 $\displaystyle n=2$를 대입해서 구하면,$\displaystyle a_2=11$이다.

4-2) 파란색 공, 노란색 공, 진홍색 공들 중에 $\displaystyle 2n$개를 택하는 중복조합의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm H_{2n}$다만, 파란색 공의 개수는 $\displaystyle n$개이고 노란색 공의 개수는 $\displaystyle 2n-1$이므로, 파란색 공이 $\displaystyle n+1$개 이상 뽑히는 경우와 노란색 공이 $\displaystyle 2n$개 뽑히는 경우는 일어날 수 없다.파란색 공이 $\displaystyle n+1$개 이상 뽑히는 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm H_{2n-(n+1)}={}_3\mathrm H_{n-1}$이고 노란색 공이 $\displaystyle 2n$개 뽑히는 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm H_{2n-2n}={}_3\mathrm H_0=1$이므로,일반항 $\displaystyle a_n={}_3\mathrm H_{2n}-{}_3\mathrm H_{n-1}-1$이 된다.따라서, 중복조합의 수를 구하는 공식에 의해$\displaystyle \begin{aligned}a_n&={}_3\mathrm H_{2n}-{}_3\mathrm H_{n-1}-1={}_{2n+2}\mathrm C_{2n}-{}_{n+1}\mathrm C_{n-1}-1\\&=(n+1)(2n+1)-\frac12(n+1)n-1=2n^2+3n+1-\frac12n^2-\frac12n-1\\&=\frac32n^2+\frac52n=\frac12(3n^2+5n)\end{aligned}$

4-3)$\displaystyle a_n+8n+15=\frac12(3n^2+5n+16n+30)=\frac32(n^2+7n+10)=\frac32(n+2)(n+5)$$\displaystyle \frac1{a_n+8n+15}=\frac29\left(\frac1{n+2}-\frac1{n+5}\right)$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{a_n+8n+15}=\frac29\left(\frac13+\frac14+\frac15\right)=\frac29\times\frac{20+15+12}{60}=\frac{94}{540}=\frac{47}{270}$