자연계열 (오후) 1번

1-1) $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$를 만족시키는 실수 $\displaystyle t$에 대해서 $\displaystyle (x(t),y(t))$를 지나는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-2\tan t(x-\cos^3t)+2\sin^3t$이 된다. $\displaystyle y=0$을 대입하면 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \cos t$가 되고, 점 $\displaystyle \left(\frac12,0\right)$을 지나므로, $\displaystyle \cos t=\frac12$이 된다. 따라서, $\displaystyle t=\frac\pi3$이다.따라서, 구하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-2\sqrt3x+\sqrt3$이다.

1-2) $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$를 만족시키는 실수 $\displaystyle t$에 대해서, $\displaystyle (x(t),y(t))$를 지나는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-2\tan t(x-\cos^3t)+2\sin^3t$이므로, 이 접선의 $\displaystyle x$절편과 $\displaystyle y$절편은 각각 $\displaystyle \cos t$와 $\displaystyle 2\sin t$이 된다. 또한, 이 직선은 점 $\displaystyle (a,0)$을 지나므로 $\displaystyle a=\cos t$가 된다. 이 접선과 $\displaystyle x$축이 이루는 예각의 크기가 $\displaystyle g(a)$이므로, $\displaystyle 2\tan t=\tan g(a)$가 된다. 또한, $\displaystyle \cos t=a$와 $\displaystyle \sin t=\sqrt{1-\cos^2t}=\sqrt{1-a^2}$임을 이용하면, $\displaystyle \frac{2\sqrt{1-a^2}}a=\tan(g(a))$를 얻는다. 따라서, $\displaystyle a^3\tan(g(a))=2a^2\sqrt{1-a^2}$이 되고, 이 함수의 구간 $\displaystyle (0,1)$에서의 최댓값은 $\displaystyle a=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}3$일 때, $\displaystyle \frac43\sqrt{\frac13}=\frac{4\sqrt3}9$이 된다.

1-3) 구간 $\displaystyle (0,1)$에 있는 임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여, $\displaystyle \cos t=a$가 되는 $\displaystyle t$가 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 존재한다. 또한, 제시문에 의하여 주어진 그래프는 아래로 볼록이다.그러므로, $\displaystyle S_1(a)+S_2(a)$의 값은 아래 그림의 색칠한 부분의 넓이가 된다.