고려대 서울캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 해설

다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

아래로 볼록인 곡선 $\displaystyle y=f(x)\ (0\le x\le1)$ 는 매개변수 $\displaystyle t$ 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\displaystyle x(t)=\cos^3t,\ y(t)=2\sin^3t\quad\left(0\le t\le\frac\pi2\right)$ 실수 $\displaystyle a\ (0<a<1)$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm A(a,0)$ 를 지나고 이 곡선에 접하는 직선이 단 하나 존재한다. (단, 곡선의 두 끝점은 접점이 아니다.) 이 접선을 $\displaystyle \ell_a$ 라 하자.

1-1) $\displaystyle a=\frac12$ 일 때, 접선 $\displaystyle \ell_a$ 의 방정식을 구하고 그 이유를 설명하시오. (10점)

1-2) 접선 $\displaystyle \ell_a$ 가 $\displaystyle x$ 축과 이루는 예각의 크기를 $\displaystyle g(a)$ 라 할 때, $\displaystyle a^3\tan(g(a))$ 의 최댓값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

1-3) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle \ell_a$ , 그리고 직선 $\displaystyle y=0$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_1(a)$ 라 하고, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle \ell_a$ , 그리고 직선 $\displaystyle x=0$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_2(a)$ 라 하자. 이때, $\displaystyle S_1(a)+S_2(a)$ 가 최소가 되는 $\displaystyle a$ 의 값을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

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+10점 · 매개변수로 나타낸 함수 및 삼각함수의 도함수를 활용하여, 접선의 기울기를 구하면 좋은 점수를 부여함

1-1) $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$ 를 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 에 대해서 $\displaystyle (x(t),y(t))$ 를 지나는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-2\tan t(x-\cos^3t)+2\sin^3t$ 이 된다. $\displaystyle y=0$ 을 대입하면 $\displaystyle x$ 절편은 $\displaystyle \cos t$ 가 되고, 점 $\displaystyle \left(\frac12,0\right)$ 을 지나므로, $\displaystyle \cos t=\frac12$ 이 된다. 따라서, $\displaystyle t=\frac\pi3$ 이다.따라서, 구하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-2\sqrt3x+\sqrt3$ 이다.

+10점 · 접선의

\displaystyle x

절편과

\displaystyle y

절편을 구하고, 이를 이용하여 접점과 예각

\displaystyle g(a)

의 관계를 구한다. 이 관계와 도함수를 활용하여 주어진 함수

\displaystyle a^3\tan(g(a))

의 최댓값을 구하면 좋은 점수를 부여함

1-2) $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$ 를 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 에 대해서, $\displaystyle (x(t),y(t))$ 를 지나는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-2\tan t(x-\cos^3t)+2\sin^3t$ 이므로, 이 접선의 $\displaystyle x$ 절편과 $\displaystyle y$ 절편은 각각 $\displaystyle \cos t$ 와 $\displaystyle 2\sin t$ 이 된다. 또한, 이 직선은 점 $\displaystyle (a,0)$ 을 지나므로 $\displaystyle a=\cos t$ 가 된다. 이 접선과 $\displaystyle x$ 축이 이루는 예각의 크기가 $\displaystyle g(a)$ 이므로, $\displaystyle 2\tan t=\tan g(a)$ 가 된다. 또한, $\displaystyle \cos t=a$ 와 $\displaystyle \sin t=\sqrt{1-\cos^2t}=\sqrt{1-a^2}$ 임을 이용하면, $\displaystyle \frac{2\sqrt{1-a^2}}a=\tan(g(a))$ 를 얻는다. 따라서, $\displaystyle a^3\tan(g(a))=2a^2\sqrt{1-a^2}$ 이 되고, 이 함수의 구간 $\displaystyle (0,1)$ 에서의 최댓값은 $\displaystyle a=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}3$ 일 때, $\displaystyle \frac43\sqrt{\frac13}=\frac{4\sqrt3}9$ 이 된다.

+10점 · 매개변수

\displaystyle t

와

\displaystyle a

사이에 관계를 이해하고,

\displaystyle S_1(a)+S_2(a)

의 값이 최소가 되는 경우가 원점과 접선의

\displaystyle x

절편과

\displaystyle y

절편으로 이루어진 삼각형의 넓이가 최대가 되는 경우임을 이해하여 문제를 해결하면 높은 점수를 부여함

1-3) 구간 $\displaystyle (0,1)$ 에 있는 임의의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여, $\displaystyle \cos t=a$ 가 되는 $\displaystyle t$ 가 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$ 에서 존재한다. 또한, 제시문에 의하여 주어진 그래프는 아래로 볼록이다.그러므로, $\displaystyle S_1(a)+S_2(a)$ 의 값은 아래 그림의 색칠한 부분의 넓이가 된다.

따라서, $\displaystyle S_1(a)+S_2(a)$ 의 최솟값을 구하기 위해서는 위의 그림의 삼각형의 면적이 최대가 되는 $\displaystyle a$ 를 구하면 된다.삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times2\sin t\cos t$ 이고 삼각함수의 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \frac12\times2\sin t\cos t=\frac12(\sin t\cos t+\cos t\sin t)=\frac12\sin(t+t)=\frac12\sin2t$ 이므로, $\displaystyle t=\frac\pi4$ 일 때 최댓값을 가진다. 따라서, $\displaystyle S_1(a)+S_2(a)$ 값이 최소가 되게 하는 $\displaystyle a$ 의 값은 $\displaystyle \cos t=a$ 의 관계식에 의해 $\displaystyle a=\frac{\sqrt2}2$ 가 된다.

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자연계열 (오후) 1번

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