자연계열 1번

1-1) $\displaystyle y=x^2$과 $\displaystyle y=a_nx+1$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \alpha_n$과 $\displaystyle \beta_n$이라고 하자. (단, $\displaystyle \alpha_n<\beta_n$)$\displaystyle \alpha_n$과 $\displaystyle \beta_n$은 이차방정식 $\displaystyle x^2-a_nx-1=0$의 두 근이므로, 근과 계수와의 관계에 의해 $\displaystyle \alpha_n+\beta_n=a_n$와 $\displaystyle \alpha_n\beta_n=-1$을 얻는다.또한, (가)의 조건으로부터 $\displaystyle \int_{\alpha_n}^{\beta_n}(a_nx+1-x^2)\,dx=\frac n6$이므로,$\displaystyle \frac{a_n}2(\beta_n^2-\alpha_n^2)+(\beta_n-\alpha_n)-\frac13(\beta_n^3-\alpha_n^3)=\frac n6$을 얻는다.따라서, 인수분해를 하면,$\displaystyle \frac{a_n}2(\beta_n-\alpha_n)(\beta_n+\alpha_n)+(\beta_n-\alpha_n)-\frac13(\beta_n-\alpha_n)(\beta_n^2+\beta_n\alpha_n+\alpha_n^2)=\frac n6$또는 $\displaystyle \frac16(\beta_n-\alpha_n)^3=\frac n6$을 얻는다.이제, $\displaystyle \alpha_n+\beta_n=a_n$과 $\displaystyle \alpha_n\beta_n=-1$을 적용하면, $\displaystyle \beta_n-\alpha_n=\sqrt{a_n^2+4}$임을 얻을 수 있고, $\displaystyle a_n^2+4=\sqrt[3]{n^2}$가 된다. 이를 풀면 $\displaystyle a_n=(\sqrt[3]{n^2}-4)^{1/2}$을 얻을 수 있고, $\displaystyle \frac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}}=\frac{\sqrt[3]{n^2}-4}{\sqrt[3]{n^2}}$이다. 따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}}=1$이다.

1-2) 1-1)에서 구한 $\displaystyle a_n=(\sqrt[3]{n^2}-4)^{1/2}$와$\displaystyle b-a=(b^{1/3}-a^{1/3})(b^{2/3}+b^{1/3}a^{1/3}+a^{2/3})$을 이용하면,$\displaystyle a_{n+1}^2-a_n^2=\sqrt[3]{(n+1)^2}-\sqrt[3]{n^2}=\frac{(n+1)^2-n^2}{(n+1)^{4/3}+(n(n+1))^{2/3}+n^{4/3}}$이 된다.따라서,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]n\times(a_{n+1}^2-a_n^2)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]n(2n+1)}{(n+1)^{4/3}+(n(n+1))^{2/3}+n^{4/3}}=\frac23$.

1-3) $\displaystyle y=x^2$과 $\displaystyle y=b_nx+1$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \alpha_n$와 $\displaystyle \beta_n$이라고 하자. (단, $\displaystyle \alpha_n<\beta_n$) 그러면, $\displaystyle \alpha_n$과 $\displaystyle \beta_n$은 $\displaystyle x^2-b_nx-1=0$의 두 근이 되므로, 근과 계수와의 관계에 의해 $\displaystyle \alpha_n+\beta_n=b_n$와 $\displaystyle \alpha_n\beta_n=-1$을 얻는다. 또한, (나)의 조건으로부터 $\displaystyle (\beta_n-\alpha_n)^2+(\beta_n^2-\alpha_n^2)^2=n^2$이므로, 인수분해 공식을 활용하여 $\displaystyle (\beta_n-\alpha_n)^2\{1+(\beta_n+\alpha_n)^2\}=n^2$을 얻는다. 이제, $\displaystyle \alpha_n+\beta_n=b_n$과 $\displaystyle \alpha_n\beta_n=-1$을 대입하면, $\displaystyle (b_n^2+4)(b_n^2+1)=n^2$를 얻을 수 있다.따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n^2}n=1$이다.