자연계열 2번

2-1) 두 이차함수 $\displaystyle g$와 $\displaystyle h$는 $\displaystyle g(x)=-x^2+ax+b$와 $\displaystyle h(x)=x^2+cx+d$이다.먼저, 조건 (나)로부터$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac1x\int_{-1}^xf(t)\,dt+\frac1{6x}\right)=\lim_{x\to0}\left(\frac1x\int_{-1}^xh(t)\,dt+\frac1{6x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\int_{-1}^xh(t)\,dt+\frac16}x=0$을 얻고,이 극한의 수렴성으로부터 $\displaystyle 0=\lim_{x\to0}\left(\int_{-1}^xh(t)\,dt+\frac16\right)=\int_{-1}^0h(t)\,dt+\frac16$을 얻는다. 이로부터, $\displaystyle \int_{-1}^0h(t)\,dt=-\frac16$ 그리고 $\displaystyle \frac13-\frac c2+d+\frac16=0$이 된다.또한, 미분계수의 정의에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0}\left(\frac1x\int_{-1}^xh(t)\,dt+\frac1{6x}\right)&=\lim_{x\to0}\frac{\int_0^xh(t)\,dt+\int_{-1}^0h(t)\,dt+\frac16}x\\&=\lim_{x\to0}\frac{\int_0^xh(t)\,dt}x=h(0)=0\end{aligned}$을 얻는다. 이로부터, $\displaystyle d=0$을 얻는다. 앞에서 구한 $\displaystyle \frac13-\frac c2+d+\frac16=0$을 이용하면, $\displaystyle c=1$이다. 따라서, $\displaystyle h(x)=x^2+x$.조건 (가)로부터 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 연속이고, 이 조건에 의해 $\displaystyle 0=h(0)=g(0)-1=b-1$이 되어야 하므로, $\displaystyle b=1$.또한, 조건 (가)로부터 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능이므로,$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}t=\lim_{t\to0+}\frac{f(t)-f(0)}t$. $\displaystyle \frac d{dx}(e^{-x}g(x))=-e^{-x}g(x)+e^{-x}g^{\prime}(x)$이므로$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{t\to0+}\frac{f(t)-f(0)}t=-g(0)+g^{\prime}(0)=-b+a$.한편, $\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{t\to0-}\frac{f(t)-f(0)}t=\lim_{t\to0-}\frac{h(t)-h(0)}t=h^{\prime}(0)=1$을 얻는다.따라서, $\displaystyle a-b=1$이므로, $\displaystyle a=2$이고, $\displaystyle g(x)=-x^2+2x+1$이다.최종정답은 $\displaystyle g(x)=-x^2+2x+1$ 그리고 $\displaystyle h(x)=x^2+x$이다.

2-2) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 한 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$이고, 이 직선이 $\displaystyle (0,k)$를 지나려면$\displaystyle k=-tf^{\prime}(t)+f(t)=\begin{cases}e^{-t}(-t^3+3t^2+t+1)-1&t\ge0\\-t^2&t<0\end{cases}$을 만족해야 한다. 따라서, 직선 $\displaystyle y=k$와 곡선 $\displaystyle y=-xf^{\prime}(x)+f(x)$이 세 점에서 만나는 $\displaystyle k$의 범위를 구하면 된다. 곡선의 그래프는 다음과 같다.

2-3) 2-1)로부터, $\displaystyle h(x)-g(x)=2x^2-x-1=2\left(x+\frac12\right)(x-1)$이므로, $\displaystyle \alpha=\frac12$와 $\displaystyle \beta=1$을 얻는다. 다음으로, $\displaystyle G^{\prime}(x)=|g(x)-h(x)|=2|x-\alpha||x-\beta|$가 되는 함수 $\displaystyle G$를 생각해보면, 정적분의 정의에 의해Correction. $\displaystyle \alpha=\frac12$은 $\displaystyle \alpha=-\frac12$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+\beta-\alpha}|g(t)-h(t)|dt=G(x+\beta-\alpha)-G(x)$이 된다. 따라서,$\displaystyle \begin{aligned}F^{\prime}(x)&=G^{\prime}(x+\beta-\alpha)-G^{\prime}(x)=2|x+\beta-2\alpha||x-\alpha|-2|x-\alpha||x-\beta|\\&=2|x-\alpha|(|x+\beta-2\alpha|-|x-\beta|)\end{aligned}$추가로 $\displaystyle F^{\prime}(x)$의 증감을 조사하면 $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 최솟값 $\displaystyle F(\alpha)=2\int_\alpha^\beta|t-\alpha||t-\beta|dt$를 갖고$\displaystyle F(\alpha)=2\int_\alpha^\beta|t-\alpha||t-\beta|dt=2\int_\alpha^\beta(t-\alpha)(\beta-t)\,dt=\int_{-\frac12}^1(-2t^2+t+1)\,dt=\frac98$이다.