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자연계열 2번

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고려대 서울캠퍼스 2026학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2026su_am/jayeon_2

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다음을 읽고 물음에 답하시오.

두 이차함수 g(x)=−x2+ax+b\displaystyle g(x)=-x^2+ax+b와 h(x)=x2+cx+d\displaystyle h(x)=x^2+cx+d에 대하여, 함수f(x)={e−xg(x)−1(x≥0)h(x)(x<0)\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{-x}g(x)-1&(x\ge0)\\h(x)&(x<0)\end{cases}는 다음 조건을 만족한다.(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=0\displaystyle x=0에서 미분가능하다.(나) lim⁡x→0(1x∫−1xf(t) dt+16x)=0\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac1x\int_{-1}^xf(t)\,dt+\frac1{6x}\right)=0참고로, 양수 x\displaystyle x에 대하여 4ex4≥x\displaystyle 4e^{\frac x4}\ge x을 이용하면, ex≥(x4)4\displaystyle e^x\ge\left(\frac x4\right)^4이므로 lim⁡x→∞x3ex=0\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{e^x}=0이 된다.

2-1) 두 이차함수 g(x)\displaystyle g(x)와 h(x)\displaystyle h(x)를 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

2-2) 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 서로 다른 세 점에서의 접선이 점 (0,k)\displaystyle (0,k)를 지나는 k\displaystyle k값의 범위를 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

2-3) g(x)−h(x)=0\displaystyle g(x)-h(x)=0의 두 근을 α, β\displaystyle \alpha,\ \beta라 하자 (단, β>α\displaystyle \beta>\alpha). 함수 F(x)=∫xx+(β−α)∣g(t)−h(t)∣dt\displaystyle F(x)=\int_x^{x+(\beta-\alpha)}|g(t)-h(t)|dt가 x=x0\displaystyle x=x_0에서 최솟값을 가질 때, x0\displaystyle x_0와 최솟값 F(x0)\displaystyle F(x_0)를 구하고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

해설강의 준비중

고려대 서울캠퍼스 2026학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2026su_am/jayeon_2

+10점 · 주어진 조건으로부터 이차함수 g(x)\displaystyle g(x)와 h(x)\displaystyle h(x)의 계수를 구하는 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

2-1) 두 이차함수 g\displaystyle g와 h\displaystyle h는 g(x)=−x2+ax+b\displaystyle g(x)=-x^2+ax+b와 h(x)=x2+cx+d\displaystyle h(x)=x^2+cx+d이다.먼저, 조건 (나)로부터lim⁡x→0(1x∫−1xf(t) dt+16x)=lim⁡x→0(1x∫−1xh(t) dt+16x)=lim⁡x→0∫−1xh(t) dt+16x=0\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac1x\int_{-1}^xf(t)\,dt+\frac1{6x}\right)=\lim_{x\to0}\left(\frac1x\int_{-1}^xh(t)\,dt+\frac1{6x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\int_{-1}^xh(t)\,dt+\frac16}x=0을 얻고,이 극한의 수렴성으로부터 0=lim⁡x→0(∫−1xh(t) dt+16)=∫−10h(t) dt+16\displaystyle 0=\lim_{x\to0}\left(\int_{-1}^xh(t)\,dt+\frac16\right)=\int_{-1}^0h(t)\,dt+\frac16을 얻는다. 이로부터, ∫−10h(t) dt=−16\displaystyle \int_{-1}^0h(t)\,dt=-\frac16 그리고 13−c2+d+16=0\displaystyle \frac13-\frac c2+d+\frac16=0이 된다.또한, 미분계수의 정의에 의해lim⁡x→0(1x∫−1xh(t) dt+16x)=lim⁡x→0∫0xh(t) dt+∫−10h(t) dt+16x=lim⁡x→0∫0xh(t) dtx=h(0)=0\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0}\left(\frac1x\int_{-1}^xh(t)\,dt+\frac1{6x}\right)&=\lim_{x\to0}\frac{\int_0^xh(t)\,dt+\int_{-1}^0h(t)\,dt+\frac16}x\\&=\lim_{x\to0}\frac{\int_0^xh(t)\,dt}x=h(0)=0\end{aligned}을 얻는다. 이로부터, d=0\displaystyle d=0을 얻는다. 앞에서 구한 13−c2+d+16=0\displaystyle \frac13-\frac c2+d+\frac16=0을 이용하면, c=1\displaystyle c=1이다. 따라서, h(x)=x2+x\displaystyle h(x)=x^2+x.조건 (가)로부터 f(x)\displaystyle f(x)는 x=0\displaystyle x=0에서 연속이고, 이 조건에 의해 0=h(0)=g(0)−1=b−1\displaystyle 0=h(0)=g(0)-1=b-1이 되어야 하므로, b=1\displaystyle b=1.또한, 조건 (가)로부터 f(x)\displaystyle f(x)는 x=0\displaystyle x=0에서 미분가능이므로,f′(0)=lim⁡t→0f(t)−f(0)t=lim⁡t→0+f(t)−f(0)t\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}t=\lim_{t\to0+}\frac{f(t)-f(0)}t. ddx(e−xg(x))=−e−xg(x)+e−xg′(x)\displaystyle \frac d{dx}(e^{-x}g(x))=-e^{-x}g(x)+e^{-x}g^{\prime}(x)이므로f′(0)=lim⁡t→0+f(t)−f(0)t=−g(0)+g′(0)=−b+a\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{t\to0+}\frac{f(t)-f(0)}t=-g(0)+g^{\prime}(0)=-b+a.한편, f′(0)=lim⁡t→0−f(t)−f(0)t=lim⁡t→0−h(t)−h(0)t=h′(0)=1\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{t\to0-}\frac{f(t)-f(0)}t=\lim_{t\to0-}\frac{h(t)-h(0)}t=h^{\prime}(0)=1을 얻는다.따라서, a−b=1\displaystyle a-b=1이므로, a=2\displaystyle a=2이고, g(x)=−x2+2x+1\displaystyle g(x)=-x^2+2x+1이다.최종정답은 g(x)=−x2+2x+1\displaystyle g(x)=-x^2+2x+1 그리고 h(x)=x2+x\displaystyle h(x)=x^2+x이다.

+10점 · 주어진 함수의 접선의 방정식을 통하여 k\displaystyle k값의 범위를 구하는 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

2-2) 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 한 점 (t,f(t))\displaystyle (t,f(t))에서의 접선의 방정식은 y=f′(t)(x−t)+f(t)\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)이고, 이 직선이 (0,k)\displaystyle (0,k)를 지나려면k=−tf′(t)+f(t)={e−t(−t3+3t2+t+1)−1t≥0−t2t<0\displaystyle k=-tf^{\prime}(t)+f(t)=\begin{cases}e^{-t}(-t^3+3t^2+t+1)-1&t\ge0\\-t^2&t<0\end{cases}을 만족해야 한다. 따라서, 직선 y=k\displaystyle y=k와 곡선 y=−xf′(x)+f(x)\displaystyle y=-xf^{\prime}(x)+f(x)이 세 점에서 만나는 k\displaystyle k의 범위를 구하면 된다. 곡선의 그래프는 다음과 같다.

접선의 y절편을 나타내는 함수의 그래프

극대와 극소를 구하기 위해 x>0\displaystyle x>0 범위에서 미분을 해보면, e−xx(x2−6x2+5x)=e−xx(x−1)(x−5)\displaystyle e^{-x}x(x^2-6x^2+5x)=e^{-x}x(x-1)(x-5)이 나온다. 여기서 x=1\displaystyle x=1일 때 극대, x=5\displaystyle x=5에서 극소임을 알 수 있다. 여기서 x\displaystyle x가 무한대로 갈 때, −xf′(x)+f(x)\displaystyle -xf^{\prime}(x)+f(x)는 −1\displaystyle -1보다 작으면서 −1\displaystyle -1로 수렴한다. 이때, 극솟값을 구하면, −44e5−1\displaystyle -\frac{44}{e^5}-1가 나온다.Correction. 미분한 식의 x2−6x2+5x\displaystyle x^2-6x^2+5x는 x2−6x+5\displaystyle x^2-6x+5의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, 구하는 k\displaystyle k값의 범위는 −44e5−1<k<−1\displaystyle -\frac{44}{e^5}-1<k<-1이다.

Comment. 점의 위치에 따른 접선 개수색과 숫자는 표시된 곡선과 직선 위를 제외한 각 영역에서 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수이다. 이 문제에서는 y축 위의 점만 살펴보면 된다.고려대 2026학년도 오전 2-2 함수에 대하여 점의 위치별로 서로 다른 접선 개수를 색과 숫자로 표시한 좌표평면. 원래 그래프, 원점 접선, x=1과 x=5의 변곡접선, 수평 점근선 y=-1, 공통접선을 서로 다른 색과 선 모양으로 구분하였다.원래 그래프, 원점에서의 접선, 두 변곡점에서의 접선과 점근선 y = −1을 기준으로 개수가 달라지는 위치를 확인할 수 있다. 경계 위의 개수는 따로 확인하며, 곡선이 점근선에 가까워진다는 이유로 접점을 하나 더 세어서는 안 된다.두 점에 동시에 접하는 공통접선은 한 개의 직선으로 센다. 공통접선은 양쪽 영역의 개수가 달라지는 경계가 아니라, 그 직선 위에서 접선 두 개가 하나로 겹치는 경우를 나타낸다.

+10점 · 정적분으로 주어진 함수의 미분을 통하여 함수의 최솟값을 구하는 과정과 이유를 논리적으로 설명하면 좋은 점수를 부여함

2-3) 2-1)로부터, h(x)−g(x)=2x2−x−1=2(x+12)(x−1)\displaystyle h(x)-g(x)=2x^2-x-1=2\left(x+\frac12\right)(x-1)이므로, α=12\displaystyle \alpha=\frac12와 β=1\displaystyle \beta=1을 얻는다. 다음으로, G′(x)=∣g(x)−h(x)∣=2∣x−α∣∣x−β∣\displaystyle G^{\prime}(x)=|g(x)-h(x)|=2|x-\alpha||x-\beta|가 되는 함수 G\displaystyle G를 생각해보면, 정적분의 정의에 의해Correction. α=12\displaystyle \alpha=\frac12은 α=−12\displaystyle \alpha=-\frac12의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.F(x)=∫xx+β−α∣g(t)−h(t)∣dt=G(x+β−α)−G(x)\displaystyle F(x)=\int_x^{x+\beta-\alpha}|g(t)-h(t)|dt=G(x+\beta-\alpha)-G(x)이 된다. 따라서,F′(x)=G′(x+β−α)−G′(x)=2∣x+β−2α∣∣x−α∣−2∣x−α∣∣x−β∣=2∣x−α∣(∣x+β−2α∣−∣x−β∣)\displaystyle \begin{aligned}F^{\prime}(x)&=G^{\prime}(x+\beta-\alpha)-G^{\prime}(x)=2|x+\beta-2\alpha||x-\alpha|-2|x-\alpha||x-\beta|\\&=2|x-\alpha|(|x+\beta-2\alpha|-|x-\beta|)\end{aligned}추가로 F′(x)\displaystyle F^{\prime}(x)의 증감을 조사하면 F(x)\displaystyle F(x)는 x=α\displaystyle x=\alpha에서 최솟값 F(α)=2∫αβ∣t−α∣∣t−β∣dt\displaystyle F(\alpha)=2\int_\alpha^\beta|t-\alpha||t-\beta|dt를 갖고F(α)=2∫αβ∣t−α∣∣t−β∣dt=2∫αβ(t−α)(β−t) dt=∫−121(−2t2+t+1) dt=98\displaystyle F(\alpha)=2\int_\alpha^\beta|t-\alpha||t-\beta|dt=2\int_\alpha^\beta(t-\alpha)(\beta-t)\,dt=\int_{-\frac12}^1(-2t^2+t+1)\,dt=\frac98이다.

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