자연계열 3번

3-1)

$\displaystyle xz$평면에서 두 직각삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{AOP}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{OPR}$은 닮음이므로$\displaystyle \frac{11}{3}:\sqrt{11}=\sqrt{11}:b$에서 $\displaystyle b=3$. $\displaystyle a^{2}+b^{2}=11$이므로 $\displaystyle a=\sqrt{2}$,따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(\sqrt{2},0,3)$이고 $\displaystyle \mathrm{R}(\sqrt{2},0,0)$.

마찬가지로 $\displaystyle yz$평면에서 $\displaystyle 11:\sqrt{11}=\sqrt{11}:d$이고 $\displaystyle d=1$.$\displaystyle c^{2}+d^{2}=11$이므로 $\displaystyle c=\sqrt{10}$.따라서 $\displaystyle \mathrm{Q}(0,\sqrt{10},1)$이고 $\displaystyle \mathrm{S}(0,\sqrt{10},0)$.$\displaystyle \overline{RS}^{\,2}=\sqrt{2^{2}}+\sqrt{10^{2}}=12$, $\displaystyle \overline{RS}=2\sqrt{3}$ 이다.

$\displaystyle \overline{PQ}^{\,2}=\sqrt{2^{2}}+\sqrt{10^{2}}+2^{2}=16$, $\displaystyle \overline{PQ}=4$이고, 선분 PQ의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영이 선분 RS이다. 두 직선이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 할 때,$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{RS}}{\overline{PQ}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$.

3-2)

직선 $\displaystyle m$에서 $\displaystyle S_{2}$까지의 거리가 최소가 되는 경우는 $\displaystyle m$에 수직이고 $\displaystyle S_{2}$의 중심을 지나는 직선이 $\displaystyle S_{2}$와 만날 때 발생한다. $\displaystyle xy$평면에서 $\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle \sqrt{5}\,x+y-\sqrt{10}=0$. $\displaystyle m$에서 $\displaystyle (\sqrt{2},6,0)$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{|\sqrt{2}\sqrt{5}+6-\sqrt{10}\,|}{\sqrt{5+1}}=\sqrt{6}$.

$\displaystyle S_{2}$의 중심에서 $\displaystyle m$까지의 거리는 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \sqrt{6+10}=4$이므로 $\displaystyle m$에서 $\displaystyle S_{2}$까지의 최소거리는 $\displaystyle 4-2=2$이다. 따라서 구의 부피는 $\displaystyle \frac{4}{3}\pi\times 2^{3}=\frac{32}{3}\pi$.