자연계열 (오후) 1번

1-1)포물선 $\displaystyle y=ax^2+bx+c$가 $\displaystyle (0,1)$을 지나므로 $\displaystyle c=1$이고, $\displaystyle (-1,1)$도 지나므로 $\displaystyle 1=a-b+1$이어서 $\displaystyle a=b$이다. $\displaystyle y=x^2$과 $\displaystyle y=ax^2+ax+1$과의 교점은 $\displaystyle (-1,1)$과 $\displaystyle (d_n,d_n^2)$이므로, $\displaystyle ax^2+ax+1=x^2$으로부터 $\displaystyle (a-1)x^2+ax+1=0$의 두 근은 $\displaystyle -1$과 $\displaystyle d_n$이다. 근과 계수와의 관계에 의해 $\displaystyle d_n=\frac{-1}{a-1}$이고 $\displaystyle a=\frac{d_n-1}{d_n}$이다. 따라서,$\displaystyle y=ax^2+ax+1=a\left(x+\frac12\right)^2+1-\frac a4$의 꼭짓점은$\displaystyle \left(-\frac12,1-\frac a4\right)=\left(-\frac12,1-\frac{d_n-1}{4d_n}\right)=\left(-\frac12,\frac{3d_n+1}{4d_n}\right)$이다.또한, $\displaystyle n$이 무한대로 갈 때, $\displaystyle d_n$은 무한대로 발산하므로,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3d_n+1}{4d_n}=\frac34$이다.

1-2)조건 (다)에서, $\displaystyle \int_{-1}^{d_n}(ax^2+ax+1-x^2)\,dx=n$이므로$\displaystyle \Biggl[\frac{(a-1)x^3}3+\frac{ax^2}2+x\Biggr]_{-1}^{d_n}=n,\quad-\frac{d_n^3+1}{3d_n}+\frac{(d_n-1)(d_n^2-1)}{2d_n}+d_n+1=n,$$\displaystyle d_n^3+3d_n^2+(3-6n)d_n+1=0$을 얻는다.따라서, $\displaystyle d_n^3+3d_n^2+(3-6n)d_n+1=0$의 양변을 $\displaystyle d_n^3$으로 나누어주면$\displaystyle 1+\frac3{d_n}+\frac{3-6n}{d_n^2}+\frac1{d_n^3}=0$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{d_n^2}n=6$이다.

1-3)$\displaystyle d_{n+1}^3+3d_{n+1}^2+(3-6(n+1))d_{n+1}+1=0$과 $\displaystyle d_n^3+3d_n^2+(3-6n)d_n+1=0$으로부터$\displaystyle (d_{n+1}-d_n)(d_n^2+d_nd_{n+1}+d_{n+1}^2)+3(d_{n+1}-d_n)(d_n+d_{n+1})+(3-6n)(d_{n+1}-d_n)-6d_{n+1}=0$을 얻는다.따라서, $\displaystyle d_{n+1}-d_n=\frac{6d_{n+1}}{(d_n^2+d_nd_{n+1}+d_{n+1}^2)+3(d_n+d_{n+1})+(3-6n)}$이므로,$\displaystyle d_{n+1}(d_{n+1}-d_n)=\frac{6d_{n+1}^2}{(d_n^2+d_nd_{n+1}+d_{n+1}^2)+3(d_n+d_{n+1})+(3-6n)}$이 된다.위의 분자와 분모를 $\displaystyle n$으로 나누고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{d_n^2}n=6$을 이용하면, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_{n+1}(d_{n+1}-d_n)=3$을 얻는다.