자연계열 (오후) 3번

3-1)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$에서 점 $\displaystyle \mathrm P$의 자취는 장축의 길이가 $\displaystyle b$인 타원의 방정식이 된다.이때 단축의 길이를 $\displaystyle 2d$라고 하면, 구하는 방정식은 $\displaystyle \frac{4x^2}{b^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$.타원의 방정식 $\displaystyle \frac{4x^2}{b^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$에서 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle \frac{4x_1x}{b^2}+\frac{y_1y}{d^2}=1$이 된다. 주어진 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$이므로, 접선의 방정식 중 기울기가 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$인 경우를 생각해보면, $\displaystyle y_1=-\frac{4\sqrt2\,d^2x_1}{b^2}$을 얻는다. 이를 타원의 방정식에 대입하면 $\displaystyle x_1^2=\frac{b^4}{4b^2+32d^2}$을 얻는다. 두 교점의 $\displaystyle x$좌표인 $\displaystyle x_1$과 $\displaystyle x_2$는 이차방정식 $\displaystyle x^2-\frac{b^4}{4b^2+32d^2}=0$의 두 근이 되므로, 근과 계수와의 관계에 의해 이다.Correction. 마지막 문장에 $\displaystyle x_1+x_2=0$이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 여기서 ‘두 교점’은 주어진 직선과 평행한 두 접선의 접점을 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

3-2)두 교점의 $\displaystyle x$좌표의 곱 $\displaystyle x_1x_2$는 3-1)에서 구한 이차방정식$\displaystyle x^2-\frac{b^4}{4b^2+32d^2}=0$의 두 해의 곱이 되므로, 근과 계수와의 관계에 의해 $\displaystyle -\frac{b^4}{4b^2+32d^2}$이 된다. 문제에서 이 값이 $\displaystyle -\frac{b^2}{12}$으로 주어졌으므로, $\displaystyle d=\frac b2$를 얻는다.Correction. 여기서 ‘두 교점’은 주어진 직선과 평행한 두 접선의 접점을 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, 타원의 방정식은 원의 방정식 $\displaystyle x^2+y^2=\left(\frac b2\right)^2$이 되고, 반지름은 $\displaystyle \frac b2$이므로, 해당 곡선 $\displaystyle \ell$은 원의 둘레를 구하는 공식에 의해 $\displaystyle b\pi$가 된다. 따라서, $\displaystyle \frac\ell b=\pi$.