자연계열 (오후) 2번

2-1)조건 (다)로부터 $\displaystyle d=f(0)=2g(0)$이고, $\displaystyle f\left(\frac d2\right)=g^{-1}\left(\frac d2\right)=0$을 얻는다.

2-2)조건 (나)에서 $\displaystyle 2b=\lim_{x\to0}\frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{x^2}=0,\ b=0$를 얻는다.2-1)로부터 $\displaystyle d=f(0)=2g(0)$이다. 이때 조건 (가)로부터 $\displaystyle d=0$임을 알 수 있다.왜냐하면, $\displaystyle f\left(\frac d2\right)=\frac d8\times(d^2+4c+1)=0$이고 $\displaystyle c=f^{\prime}(0)>0$이므로 $\displaystyle d=0$이다.Correction. $\displaystyle d^2+4c+1$은 $\displaystyle d^2+4c+8$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.추가로, 조건 (다)에 의해,$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{f(x)-2g(x)}x&=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)-2(g(x)-g(0))}x=f^{\prime}(0)-2g^{\prime}(0)\\&=f^{\prime}(0)-\frac2{f^{\prime}(g(0))}=f^{\prime}(0)-\frac2{f^{\prime}(0)}=1\end{aligned}$을 얻는다. 이 식을 풀면 $\displaystyle f^{\prime}(0)=2$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(0)=-1$이 된다. 이 중 조건 (가)에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$을 만족해야 하므로 $\displaystyle c=f^{\prime}(0)=2$이다.따라서, $\displaystyle f(x)=x^3+2x$이다.

2-3)두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$는 각각, $\displaystyle f(x)=-f(-x)$와 $\displaystyle g(x)=-g(-x)$를 만족한다. 따라서, $\displaystyle f(x)xg(x)$는 원점 대칭 함수이며 $\displaystyle \int_{-3}^3f(x)xg(x)\,dx=0$이 되므로,$\displaystyle \int_{-3}^3x(f(x)+1)g(x)\,dx=\int_{-3}^3xg(x)\,dx$이 된다. 이어서 $\displaystyle g(x)=t$로 치환하면,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-3}^3xg(x)\,dx&=\int_{-1}^1f(t)tf^{\prime}(t)\,dt=\int_{-1}^1t\frac d{dt}\left(\frac{f^2(t)}2\right)\,dt\\&=\Biggl[t\frac{f^2(t)}2\Biggr]_{-1}^1-\int_{-1}^1\frac{f^2(t)}2\,dt=9-\int_{-1}^1\frac{(t^3+2t)^2}2\,dt\\&=9-\frac{239}{105}=\frac{706}{105}\end{aligned}$