자연계열 4번

4-1) 특수문자는 32개 그리고 특수문자가 들어갈 자리를 고르는 방법이 5가지 ($\displaystyle =32\times5$), 알파벳 대문자는 26개 그리고 알파벳 대문자가 들어가는 방법은 4가지이고 ($\displaystyle =26\times4$), 나머지 세 자리는 숫자와 알파벳 소문자를 중복을 허용하여 3자리에 넣는 방법의 수이다. ($\displaystyle ={}_{36}\Pi_3=36^3$) 따라서, 구하는 총 경우의 수는 위의 값을 곱해서 얻어지는 숫자 $\displaystyle 32\times5\times26\times4\times{}_{36}\Pi_3=16640\times36^3$이 된다. 즉, $\displaystyle n$은 16640 그리고 $\displaystyle k$는 36이 되어서 구하는 값 $\displaystyle n-k$는 16604가 된다.

4-2) 다섯 자리의 비밀번호의 각 자리를 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon$이라고 하자. 숫자는 0부터 9까지의 정수로 구성되어 있으므로, 각각의 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon$은 각각 0 이상 9 이하의 한 자리 정수가 된다. 또한, 문제에서 그 합은 38이라고 하였으므로, $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon=38$이 된다.추가로, $\displaystyle \alpha_1=9-\alpha,\ \beta_1=9-\beta,\ \gamma_1=9-\gamma,\ \delta_1=9-\delta,\ \epsilon_1=9-\epsilon$이라고 놓으면, 한 자리 정수인 $\displaystyle \alpha_1,\beta_1,\gamma_1,\delta_1,\epsilon_1$들은 $\displaystyle \alpha_1+\beta_1+\gamma_1+\delta_1+\epsilon_1=45-38=7$을 만족한다. 따라서, $\displaystyle \alpha_1,\beta_1,\gamma_1,\delta_1,\epsilon_1$이 될 수 있는 총 경우의 수는 서로 다른 5개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로,$\displaystyle {}_5\mathrm H_7={}_{11}\mathrm C_7=\frac{11!}{4!7!}=11\times10\times3=330$이 된다. $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon$가 될 수 있는 총 경우의 수는 $\displaystyle \alpha_1,\beta_1,\gamma_1,\delta_1,\epsilon_1$가 될 수 있는 총 경우의 수와 같으므로, 정답은 330이다.