수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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부산대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2022mo/jayeon_1

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문제

【공통문항 1】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 다항식 g(x)\displaystyle g(x)(단, g(x)≠0\displaystyle g(x)\ne0)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)\displaystyle Q(x), 나머지를 R(x)\displaystyle R(x)라 하면 다음 식이 성립한다.f(x)=g(x)Q(x)+R(x)\displaystyle f(x)=g(x)Q(x)+R(x)이때 R(x)\displaystyle R(x)의 차수는 g(x)\displaystyle g(x)의 차수보다 낮다.

(나) 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지가 성립함을 보이면 된다.(ⅰ) n=1\displaystyle n=1일 때, 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.(ⅱ) n=k\displaystyle n=k일 때, 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.이와 같이 자연수 n\displaystyle n에 대한 어떤 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립함을 증명하는 방법을 수학적 귀납법이라고 한다.

[1-1] 다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나눈 나머지는 x−1\displaystyle x-1이고, x+1\displaystyle x+1로 나눈 나머지는 −1\displaystyle -1일 때,f(x)\displaystyle f(x)를 x3+1\displaystyle x^3+1로 나눈 나머지를 구하시오. (15점)

[1-2] 다항식 g(x)=x4+x−1\displaystyle g(x)=x^4+x-1대하여 다음 명제가 성립함을 수학적 귀납법을 사용하여 증명하시오.(단, g1(x)=g(x)\displaystyle g^1(x)=g(x)이고 gn+1(x)=g(gn(x))\displaystyle g^{n+1}(x)=g(g^n(x)) (n\displaystyle n은 자연수)이다.) (20점)

모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 gn(x)\displaystyle g^n(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1으로 나눈 나머지는 항상 일정하다.

해설강의 준비중

부산대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2022mo/jayeon_1

+3점 · f(x)\displaystyle f(x)를 x3+1\displaystyle x^3+1로 나눈 나머지 R(x)\displaystyle R(x)를 2차식으로 표현할 수 있다

[1-1]f(x)=(x3+1)Q(x)+ax2+bx+c\displaystyle f(x)=(x^3+1)Q(x)+ax^2+bx+c라 하자. (단, Q(x)\displaystyle Q(x)는 다항식이고 a,b,c\displaystyle a,b,c는 상수이다.) 이때x3+1=(x+1)(x2−x+1)\displaystyle x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)이므로f(x)=(x2−x+1)(x+1)Q(x)+a(x2−x+1)+(a+b)x+(−a+c).\displaystyle f(x)=(x^2-x+1)(x+1)Q(x)+a(x^2-x+1)+(a+b)x+(-a+c).

+9점 · 주어진 조건을 바탕으로 R(x)\displaystyle R(x)의 계수들에 대한 3개의 식을 얻을 수 있다. (각 3점)

f(x)\displaystyle f(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나눈 나머지는 x−1\displaystyle x-1이므로a+b=1⋯①−a+c=−1⋯②\displaystyle \begin{aligned}a+b&=1\quad\cdots\text{①}\\-a+c&=-1\quad\cdots\text{②}\end{aligned}이다. 또한, f(x)\displaystyle f(x)를 x+1\displaystyle x+1로 나눈 나머지가 −1\displaystyle -1이므로f(−1)=a−b+c=−1⋯③\displaystyle f(-1)=a-b+c=-1\quad\cdots\text{③}이다.

+3점 · 나머지 R(x)=13x2+23x−23\displaystyle R(x)=\frac13x^2+\frac23x-\frac23를 구할 수 있다.

①, ②, ③을 연립하면 a=13,  b=23,  c=−23\displaystyle a=\frac13,\;b=\frac23,\;c=-\frac23.그러므로 f(x)\displaystyle f(x)를 x3+1\displaystyle x^3+1로 나눈 나머지는 13x2+23x−23\displaystyle \frac13x^2+\frac23x-\frac23이다.

+6점 · n=1\displaystyle n=1일 때, g1(x)\displaystyle g^1(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나누었을 때의 나머지 −1\displaystyle -1을 구할 수 있다.

[1-2](ⅰ) n=1\displaystyle n=1일 때 g1(x)=x4+x−1=x(x+1)(x2−x+1)−1\displaystyle g^1(x)=x^4+x-1=x(x+1)(x^2-x+1)-1이므로 g1(x)\displaystyle g^1(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1으로 나눈 나머지는 −1\displaystyle -1이다.

+10점 · n=k\displaystyle n=k일 때 명제가 성립한다고 가정하면, n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 성립함을 증명할 수 있다.

(ⅱ) n=k\displaystyle n=k일 때 gk(x)\displaystyle g^k(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1으로 나눈 나머지가 −1\displaystyle -1이라 하자.즉, gk(x)=(x2−x+1)Qk(x)−1\displaystyle g^k(x)=(x^2-x+1)Q_k(x)-1를 만족하는 다항식 Qk(x)\displaystyle Q_k(x)가 존재한다.gk+1(x)=g(gk(x))=g((x2−x+1)Qk(x)−1)={(x2−x+1)Qk(x)−1}4+{(x2−x+1)Qk(x)−1}−1=(x2−x+1)Qk+1(x)+(−1)4+(−1)−1=(x2−x+1)Qk+1(x)−1\displaystyle \begin{aligned}g^{k+1}(x)&=g(g^k(x))=g((x^2-x+1)Q_k(x)-1)\\&=\{(x^2-x+1)Q_k(x)-1\}^4+\{(x^2-x+1)Q_k(x)-1\}-1\\&=(x^2-x+1)Q_{k+1}(x)+(-1)^4+(-1)-1\\&=(x^2-x+1)Q_{k+1}(x)-1\end{aligned}를 만족하는 다항식 Qk+1(x)\displaystyle Q_{k+1}(x)가 존재한다. 그러므로 gk+1(x)\displaystyle g^{k+1}(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1으로 나눈 나머지는 −1\displaystyle -1이다.

+4점 · 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 n\displaystyle n애 대하여 명제가 성립함을 결론내릴 수 있다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 gn(x)\displaystyle g^n(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1으로 나눈 나머지는 항상 −1\displaystyle -1로 일정하다.

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