자연계열 1번

[1-1]$\displaystyle f(x)=(x^3+1)Q(x)+ax^2+bx+c$라 하자. (단, $\displaystyle Q(x)$는 다항식이고 $\displaystyle a,b,c$는 상수이다.) 이때$\displaystyle x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$이므로$\displaystyle f(x)=(x^2-x+1)(x+1)Q(x)+a(x^2-x+1)+(a+b)x+(-a+c).$

$\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x^2-x+1$로 나눈 나머지는 $\displaystyle x-1$이므로$\displaystyle \begin{aligned}a+b&=1\quad\cdots\text{①}\\-a+c&=-1\quad\cdots\text{②}\end{aligned}$이다. 또한, $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x+1$로 나눈 나머지가 $\displaystyle -1$이므로$\displaystyle f(-1)=a-b+c=-1\quad\cdots\text{③}$이다.

①, ②, ③을 연립하면 $\displaystyle a=\frac13,\;b=\frac23,\;c=-\frac23$.그러므로 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x^3+1$로 나눈 나머지는 $\displaystyle \frac13x^2+\frac23x-\frac23$이다.

[1-2](ⅰ) $\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle g^1(x)=x^4+x-1=x(x+1)(x^2-x+1)-1$이므로 $\displaystyle g^1(x)$를 $\displaystyle x^2-x+1$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle -1$이다.

(ⅱ) $\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle g^k(x)$를 $\displaystyle x^2-x+1$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle -1$이라 하자.즉, $\displaystyle g^k(x)=(x^2-x+1)Q_k(x)-1$를 만족하는 다항식 $\displaystyle Q_k(x)$가 존재한다.$\displaystyle \begin{aligned}g^{k+1}(x)&=g(g^k(x))=g((x^2-x+1)Q_k(x)-1)\\&=\{(x^2-x+1)Q_k(x)-1\}^4+\{(x^2-x+1)Q_k(x)-1\}-1\\&=(x^2-x+1)Q_{k+1}(x)+(-1)^4+(-1)-1\\&=(x^2-x+1)Q_{k+1}(x)-1\end{aligned}$를 만족하는 다항식 $\displaystyle Q_{k+1}(x)$가 존재한다. 그러므로 $\displaystyle g^{k+1}(x)$를 $\displaystyle x^2-x+1$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle -1$이다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle g^n(x)$를 $\displaystyle x^2-x+1$으로 나눈 나머지는 항상 $\displaystyle -1$로 일정하다.