의·약학계 1번

[1-1]$\displaystyle a=p+q\sqrt3\;(p,q\text{는 정수},p^2-3q^2=1)$라 할 때,$\displaystyle \frac a{2+\sqrt3}=\frac{p+q\sqrt3}{2+\sqrt3}=(p+q\sqrt3)(2-\sqrt3)=(2p-3q)+(2q-p)\sqrt3$

$\displaystyle 2p-3q,2q-p$는 정수이고,$\displaystyle (2p-3q)^2-3(2q-p)^2=4p^2-12pq+9q^2-12q^2+12pq-3p^2=p^2-3q^2=1$이므로$\displaystyle \frac a{2+\sqrt3}$는 집합 $\displaystyle A$의 원소이다.

[1-2](1)$\displaystyle m$이 양수이므로 $\displaystyle m+\frac1m\ge2\sqrt{m\frac1m}=2$이고, $\displaystyle m\ne1$이므로 $\displaystyle m+\frac1m>2$이다.

$\displaystyle 1<m\le n$이므로 $\displaystyle \left(n+\frac1n\right)-\left(m+\frac1m\right)=(n-m)+\frac{m-n}{mn}=\frac{(mn-1)(n-m)}{mn}\ge0$이다.따라서 $\displaystyle 2<m+\frac1m\le n+\frac1n$이다.

(2)$\displaystyle A$의 원소 $\displaystyle b$에서 $\displaystyle 1<b\le2+\sqrt3$을 만족하는 $\displaystyle b$를$\displaystyle b=p+q\sqrt3\;(p^2-3q^2=1,\;p,q\text{는 정수})$라 하면$\displaystyle \frac1b=\frac1{p+q\sqrt3}=\frac{p-q\sqrt3}{p^2-3q^2}=p+(-q)\sqrt3$이 되어 $\displaystyle \frac1b\in A$이다.$\displaystyle 2<b+\frac1b=p+q\sqrt3+p+(-q)\sqrt3=2p\le(2+\sqrt3)+\frac1{2+\sqrt3}=4$에서$\displaystyle 1<p\le2$이므로 $\displaystyle p=2$이다. $\displaystyle p^2-3q^2=1$에 $\displaystyle p=2$를 대입하면 $\displaystyle q=\pm1$$\displaystyle 1<b\le2+\sqrt3$이므로 $\displaystyle q=1$.따라서 $\displaystyle b=2+\sqrt3$이다.

[1-3]$\displaystyle c\in A$이고, $\displaystyle 2+\sqrt3<c\le(2+\sqrt3)^2$이므로,각 항을 $\displaystyle 2+\sqrt3$으로 나누면 $\displaystyle 1<\frac c{2+\sqrt3}\le2+\sqrt3$

[1-1]에서 $\displaystyle \frac c{2+\sqrt3}\in A$이고,

[1-2]의 결과를 이용하면 $\displaystyle \frac c{2+\sqrt3}=2+\sqrt3$이므로 $\displaystyle c=(2+\sqrt3)^2$