의·약학계 미적분

[미적분-1]함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}a(x+1)^3(1-3x)e^{-3x}&(x<0)\\\dfrac{-4a(x-1)}{(x^2-2x+2)^2}&(x>0)\end{cases}$함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 연속이고$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}h&=\lim_{h\to0^-}\frac{a(h+1)^4e^{-3h}-a}h=a\lim_{h\to0^-}\frac{(h+1)^4e^{-3h}-1}h\\&=a\lim_{h\to0^-}\frac{\{(h+1)^4-1\}e^{-3h}+e^{-3h}-1}h\\&=a\lim_{h\to0^-}\frac{\{(h+1)^2+1\}\{(h+1)^2-1\}e^{-3h}+e^{-3h}-1}h\\&=a\lim_{h\to0^-}\left\{(h^2+2h+2)(h+2)e^{-3h}+\frac{e^{-3h}-1}h\right\}\\&=a(4-3)=a\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}h&=\lim_{h\to0^+}\frac{\dfrac{2a}{h^2-2h+2}-a}h=a\lim_{h\to0^+}\frac{\dfrac{-h^2+2h}{h^2-2h+2}}h\\&=a\lim_{h\to0^+}\frac{-h+2}{h^2-2h+2}=a\end{aligned}$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

$\displaystyle g(x)=\sqrt{|f(x)-t|}$라 할 때,제시문 (나)에 의해 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle f(x)\ne t$인 $\displaystyle x$의 값에서 미분가능하다.이 때, $\displaystyle g^{\prime}(x)=\begin{cases}\dfrac{f^{\prime}(x)}{2\sqrt{f(x)-t}}&(f(x)>t)\\\dfrac{-f^{\prime}(x)}{2\sqrt{-f(x)+t}}&(f(x)<t)\end{cases}$이고, $\displaystyle f(x)=t$인 $\displaystyle x$의 값에서$\displaystyle f^{\prime}(x)\ne0$인 경우 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 존재하지 않으므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 미분가능하지 않고,$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$인 경우는 제시문 (가)를 이용하여 함수 $\displaystyle g(x)$의 미분가능성을 확인해야 한다.

그림과 같이 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle y=t$의 위치 관계를 고려하면,

(1) $\displaystyle t<0$일 때, $\displaystyle h(t)=0$(2) $\displaystyle t=0$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0^+}\frac{g(-1+h)-g(-1)}h&=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{ah^4e^{-3(-1+h)}}}h\\&=\lim_{h\to0^+}\sqrt{\frac{ah^4e^{-3(-1+h)}}{h^2}}=\lim_{h\to0^+}\sqrt{ah^2e^{-3(-1+h)}}=0\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0^-}\frac{g(-1+h)-g(-1)}h&=\lim_{h\to0^-}\frac{\sqrt{ah^4e^{-3(-1+h)}}}h\\&=\lim_{h\to0^-}-\sqrt{\frac{ah^4e^{-3(-1+h)}}{h^2}}=\lim_{h\to0^-}-\sqrt{ah^2e^{-3(-1+h)}}=0\end{aligned}$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-1$에서 미분가능하다. 따라서 $\displaystyle h(t)=0$이다.(3) $\displaystyle 0<t<2a$일 때, $\displaystyle h(t)=3$(4) $\displaystyle t=2a$일 때, $\displaystyle x<0$에서 미분불가능한 점이 1개 존재한다. 또한,$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{g(1+h)-g(1)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{2a\left|\dfrac{h^2}{h^2+1}\right|}}h=\sqrt{2a}$$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{g(1+h)-g(1)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\sqrt{2a\left|\dfrac{h^2}{h^2+1}\right|}}h=-\sqrt{2a}$이므로, 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 미분불가능하다. 따라서 $\displaystyle h(t)=2$이다.(5) $\displaystyle t>2a$일 때, $\displaystyle h(t)=1$따라서, 함수 $\displaystyle h(t)$는(1) $\displaystyle t<0$일 때, $\displaystyle h(t)=0$　(2) $\displaystyle t=0$일 때, $\displaystyle h(t)=0$　(3) $\displaystyle 0<t<2a$일 때, $\displaystyle h(t)=3$(4) $\displaystyle t=2a$일 때, $\displaystyle h(t)=2$　(5) $\displaystyle t>2a$일 때, $\displaystyle h(t)=1$

[미적분-2]함수 $\displaystyle h(t)$의 치역이 $\displaystyle \{0,1,2,3\}$이므로 $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle 0,1,2,3$만 가능하다. 또한, $\displaystyle h(0)=0$이므로 $\displaystyle h(h(0))=0$, 즉 $\displaystyle \alpha_1=0$이다.

① $\displaystyle 0<2a<1$인 경우,$\displaystyle h(1)=h(2)=h(3)=1$이고 $\displaystyle h(h(1))=h(1)=1,\;h(h(2))=h(1)=1,\;h(h(3))=h(1)=1$이므로 $\displaystyle m=2$이고 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2=0+1=1$이다. 즉 조건을 만족하지 못한다.② $\displaystyle 2a=1$인 경우,$\displaystyle h(1)=2,\;h(2)=h(3)=1$이고 $\displaystyle h(h(1))=h(2)=1,\;h(h(2))=h(1)=2,\;h(h(3))=h(1)=2$이므로 $\displaystyle m=3$이고 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0+1+2=3$이다. 즉 조건을 만족하지 못한다.③ $\displaystyle 1<2a<2$인 경우,$\displaystyle h(1)=3,\;h(2)=h(3)=1$이고 $\displaystyle h(h(1))=h(3)=1,\;h(h(2))=h(1)=3,\;h(h(3))=h(1)=3$이므로 $\displaystyle m=3$이고 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0+1+3=4$이다. 즉 조건을 만족하지 못한다.④ $\displaystyle 2a=2$인 경우,$\displaystyle h(1)=3,\;h(2)=2,\;h(3)=1$이고 $\displaystyle h(h(1))=h(3)=1,\;h(h(2))=h(2)=2,\;h(h(3))=h(1)=3$이므로 $\displaystyle m=4$이고 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0+1+2+3=6$이다. 즉 조건을 만족하지 못한다.⑤ $\displaystyle 2<2a<3$인 경우,$\displaystyle h(1)=h(2)=3,\;h(3)=1$이고 $\displaystyle h(h(1))=h(3)=1,\;h(h(2))=h(3)=1,\;h(h(3))=h(1)=3$이므로 $\displaystyle m=3$이고 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0+1+3=4$이다. 즉 조건을 만족하지 못한다.⑥ $\displaystyle 2a=3$인 경우,$\displaystyle h(1)=h(2)=3,\;h(3)=2$이고 $\displaystyle h(h(1))=h(3)=2,\;h(h(2))=h(3)=2,\;h(h(3))=h(2)=3$이므로 $\displaystyle m=3$이고 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0+2+3=5$이다. 즉 조건을 만족한다. 따라서 $\displaystyle a=\frac32$이다.⑦ $\displaystyle 2a>3$인 경우,$\displaystyle h(1)=h(2)=h(3)=3$이고 $\displaystyle h(h(1))=h(3)=3,\;h(h(2))=h(3)=3,\;h(h(3))=h(3)=3$이므로 $\displaystyle m=2$이고 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2=0+3=3$이다. 즉 조건을 만족하지 못한다.① ~ ⑦에 의하여 $\displaystyle a=\frac32$이다.