의·약학계 2번

[2-1]$\displaystyle \begin{aligned}&[\{f(x)\}^2-5xf(x)+5x^2][\{f(x)\}^2-5xf(x)+7x^2]\\&=[\{f(x)\}^2-5xf(x)+6x^2-x^2][\{f(x)\}^2-5xf(x)+6x^2+x^2]\\&=[\{f(x)\}^2-5xf(x)+6x^2]^2-x^4\\&=(f(x)-2x)^2(f(x)-3x)^2-x^4\\&\ge-x^4\end{aligned}$이므로, 제시문 (가)에 의해$\displaystyle \int_0^1[(f(x)-2x)^2(f(x)-3x)^2-x^4]dx\ge\int_0^1-x^4\,dx$이다. 따라서, $\displaystyle f(x)=2x$이거나 $\displaystyle f(x)=3x$일 때, $\displaystyle k_0=\int_0^1-x^4\,dx=-\frac15$이다.

(i) $\displaystyle f(x)=2x$는 $\displaystyle a$가 홀수일 때, $\displaystyle f\left(\frac a{2^n}\right)=\frac{2a}{2^n}$이고 $\displaystyle 2a$는 짝수이므로 $\displaystyle f(x)=2x$는 집합 $\displaystyle A$의 원소이다.(ii) $\displaystyle f(x)=3x$는 $\displaystyle a$가 홀수일 때, $\displaystyle f\left(\frac a{2^n}\right)=\frac{3a}{2^n}$이고 $\displaystyle 3a$는 짝수가 아니므로 $\displaystyle f(x)=3x$는 집합 $\displaystyle A$의 원소가 아니다.따라서$\displaystyle \int_0^1[\{f(x)\}^2-5xf(x)+5x^2][\{f(x)\}^2-5xf(x)+7x^2]dx=k_0$를 만족시키는 집합 $\displaystyle A$의 원소는 $\displaystyle f(x)=2x$이다.

[2-2]집합 $\displaystyle B$의 원소 $\displaystyle g(x)$는 다음의 성질 (I)와 (II)를 만족시킨다.(I) $\displaystyle a$가 홀수이면, $\displaystyle g\left(\frac a{2^n}\right)=\frac b{2^n}$인 홀수 $\displaystyle b$가 존재한다.(II) $\displaystyle a$가 짝수이면, $\displaystyle g\left(\frac a{2^n}\right)=\frac b{2^n}$인 짝수 $\displaystyle b$가 존재한다.성질 (II)를 만족시키는 이유는 다음과 같다.$\displaystyle a$가 짝수이면, $\displaystyle \frac a{2^n}=\frac{a_0}{2^m}$를 만족시키는 $\displaystyle m<n$인 자연수 $\displaystyle m$과 홀수 $\displaystyle a_0$가 존재한다. 따라서, 집합 $\displaystyle B$의 조건으로부터$\displaystyle g\left(\frac a{2^n}\right)=g\left(\frac{a_0}{2^m}\right)=\frac{b_0}{2^m},\quad b_0\text{는 홀수},$이다. $\displaystyle b^{\prime}=b_0 2^{n-m}$라 두면 $\displaystyle b^{\prime}$은 짝수이고 $\displaystyle g\left(\frac a{2^n}\right)=\frac{b^{\prime}}{2^n}$이므로, 성질 (II)가 만족됨을 알 수 있다.

제시문 (나)에 의해$\displaystyle g^{\prime}(c)=\frac{g\left(\frac{a+1}{2^n}\right)-g\left(\frac a{2^n}\right)}{\frac{a+1}{2^n}-\frac a{2^n}}$을 만족시키는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle \left(\frac a{2^n},\frac{a+1}{2^n}\right)$에 적어도 하나 존재한다.

또한, 연속하는 두 자연수 $\displaystyle a,a+1$은 둘 중 하나는 홀수이고 하나는 짝수이므로 성질 (I)와 (II)로부터$\displaystyle g^{\prime}(c)=\frac{g\left(\frac{a+1}{2^n}\right)-g\left(\frac a{2^n}\right)}{\frac{a+1}{2^n}-\frac a{2^n}}=\frac{\frac{b^{\prime}}{2^n}-\frac b{2^n}}{\frac1{2^n}}=b^{\prime}-b$인 $\displaystyle b$와 $\displaystyle b^{\prime}$이 존재하고 둘 중 하나는 반드시 홀수이어야 하고 다른 하나는 짝수이어야 한다.즉, $\displaystyle |b^{\prime}-b|\ge1$이므로 $\displaystyle |g^{\prime}(c)|\ge1$이다.