자연계열 기하

[기하-1]$\displaystyle \mathrm P(t,s)$에서 타원 $\displaystyle E_1$에 그은 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{tx}9+\frac{sy}{25}=1$이고 점 $\displaystyle \mathrm Q(t,s^{\prime})$이라 하면 점 Q에서 타원 $\displaystyle E_2$에서 그은 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{tx}9+\frac{s^{\prime}y}4=1$

이므로 두 접선의 교점 R의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac9t,0\right)$이다.

따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=(0,-s)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RH}}=\left(t-\frac9t,0\right)$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RH}}=0$이다.

[기하-2][기하-1]의 결과에로부터 선분 RH는 두 선분 PQ, QH과 수직이므로삼각형 PQR의 넓이 $\displaystyle S_1=\frac12\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{RH}}$이고 삼각형 QRH의 넓이 $\displaystyle S_2=\frac12\overline{\mathrm{QH}}\times\overline{\mathrm{RH}}$이다.

따라서 $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac12\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{RH}}}{\frac12\overline{\mathrm{QH}}\times\overline{\mathrm{RH}}}=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\overline{\mathrm{QH}}}=\frac{s-s^{\prime}}{s^{\prime}}=\frac{\sqrt{25-\frac{25}9t^2}}{\sqrt{4-\frac49t^2}}-1=\frac{\frac53\sqrt{9-t^2}}{\frac23\sqrt{9-t^2}}-1=\frac32$

[기하-3]$\displaystyle \angle\mathrm{PRQ}=\angle\mathrm{QRH}=\theta$라 하면 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle S_1=\frac12\overline{\mathrm{RP}}\times\overline{\mathrm{RQ}}\times\sin\theta$, $\displaystyle S_2=\frac12\overline{\mathrm{RQ}}\times\overline{\mathrm{RH}}\times\sin\theta$이다.Correction. 풀이에서 삼각형의 넓이 공식을 인용한 ‘제시문 (다)’는 ‘제시문 (나)’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac32$이므로 $\displaystyle \frac{\frac12\overline{\mathrm{PR}}\,\overline{\mathrm{QR}}\sin\theta}{\frac12\overline{\mathrm{QR}}\,\overline{\mathrm{HR}}\sin\theta}=\frac32$이다.$\displaystyle 2\overline{\mathrm{PR}}=3\overline{\mathrm{HR}}$이고, $\displaystyle 4\overline{\mathrm{PR}}^2=9\overline{\mathrm{HR}}^2$이다.점 $\displaystyle \mathrm P(t,s)$, $\displaystyle \mathrm R\left(\frac9t,0\right)$, $\displaystyle \mathrm H(t,0)$에 대하여 식으로 나타내면(1) $\displaystyle 4\left\{\left(\frac9t-t\right)^2+s^2\right\}=9\left(\frac9t-t\right)^2$이다.점 $\displaystyle \mathrm P(t,s)$가 타원 $\displaystyle E_1$ 위의 점이므로 $\displaystyle s^2=25-\frac{25}9t^2$이고, (1)에 대입하면$\displaystyle 5\left(\frac9t-t\right)^2=4\left(25-\frac{25}9t^2\right)$이므로 $\displaystyle 0<t<3$범위에서는 $\displaystyle t=\frac9{\sqrt{29}}$이다.따라서 점 R의 좌표는 $\displaystyle (\sqrt{29},0)$이다.